【題目】如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=1cm,AB=3cm,BC=5cm,動點P從點B出發(fā)以1cm/s的速度沿BC的方向運動,動點Q從點C出發(fā)以2cm/s的速度沿CD方向運動,P、Q兩點同時出發(fā),當Q到達點D時停止運動,點P也隨之停止,設運動的時間為ts(t>0)
(1)求線段CD的長;
(2)t為何值時,線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1:2兩部分?

【答案】
(1)解:如圖1,作DE⊥BC于E,則四邊形ADEB是矩形.

∴BE=AD=1,DE=AB=3,

∴EC=BC﹣BE=4,

在Rt△DEC中,DE2+EC2=DC2,

∴DC= =5厘米;


(2)解:∵點P的速度為1厘米/秒,點Q的速度為2厘米/秒,運動時間為t秒,

∴BP=t厘米,PC=(5﹣t)厘米,CQ=2t厘米,QD=(5﹣2t)厘米,

且0<t≤2.5,

作QH⊥BC于點H,

∴DE∥QH,

∴∠DEC=∠QHC,

∵∠C=∠C,

∴△DEC∽△QHC,

= ,即 =

∴QH= t,

∴SPQC= PCQH= (5﹣t) t=﹣ t2+3t,

S四邊形ABCD= (AD+BC)AB= (1+5)×3=9,

分兩種情況討論:

①當SPQC:S四邊形ABCD=1:3時,

t2+3t= ×9,即t2﹣5t+5=0,

解得t1= ,t2= (舍去);

②SPQC:S四邊形ABCD=2:3時,

t2+3t= ×9,即t2﹣5t+10=0,

∵△<0,

∴方程無解,

∴當t為 秒時,線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1:2兩部分.


【解析】(1)作DE⊥BC于E,根據勾股定理即可求解;(2)線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1:2兩部分,分兩種情況進行求解.

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