Question

如圖，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺放在一起（如圖1），點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AED=90°，它們的斜邊長為2．若△ABC固定不動(dòng)，把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，AD、AE與邊BC的交點(diǎn)分別為M、N（點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)N不與點(diǎn)C重合）．
（1）證明：△BAN∽△CMA；
（2）求BN•CM的值；
（3）當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，AD交BC于點(diǎn)M，AE、BC的延長線交于點(diǎn)N，此時(shí)BN•CM的值是否發(fā)生變化？請你說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）由題意可得∠BAN=∠BAD+45°，∠CMA=∠BAD+45°，即可證得∠BANE=∠CMA，又由∠B=∠C=45°，即可證得△BAN∽△CMA；
（2）由△BAN∽△CMA，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得BN•CM的值；
（3）由∠BAN=∠BAD+45°，∠CMA=∠BAD+45°，即可證得∠BANE=∠CMA，又由∠B=∠C=45°，即可證得△BAN∽△CMA，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論．

解答：（1）證明：∵∠BAN=∠BAD+45°，∠CMA=∠BAD+45°，
∴∠BANE=∠CMA，
又∵∠B=∠C=45°，
∴△BAN∽△CMA；

（2）解：∵△BAN∽△CMA，
∴BN：CA=BA：CM，
∵斜邊長為2，
∴AC=AB=

2

，
∴BN•CM=2；

（3）解：不變．
理由：∵∠BAN=∠BAD+45°，∠CMA=∠BAD+45°，
∴∠BANE=∠CMA，
又∵∠B=∠ACM=45°，
∴△BAN∽△CMA，
∴BN：CA=BA：CM，
∵AC=AB=

2

，
∴BN•CM=2．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．