Question

如圖，⊙O是△ABC是的外接圓，BC為⊙O直徑，作∠CAD=∠B，且點D在BC的延長線上．
（1）求證：直線AD是⊙O的切線；
（2）若sin∠CAD=

2

4

，⊙O的直徑為8，求CD長．

Answer 1

考點：切線的判定,解直角三角形

專題：計算題

分析：（1）連結OA，根據(jù)圓周角定理的推論得到∠BAC=90°，由∠CAD=∠B易得∠BAO=∠CAD，則∠CAD+∠CAO=90°，于是OA⊥AD，然后根據(jù)切線的判定方法即可得到直線AD是⊙O的切線；
（2）在Rt△ABC中，由sinB=sin∠CAD=

2

4

，根據(jù)正弦的定義可計算出AC=2

2

，再根據(jù)勾股定理可計算出AB=2

14

，利用△DAC∽△DBA得

CD

AD

=

AC

AB

=

2 2

2 14

=

1

7

，即AD=

7

CD，然后在Rt△OAD中，根據(jù)勾股定理可得到關于CD的方程，然后解方程得CD的長．

解答：（1）證明：連結OA，如圖，
∵BC為⊙O直徑，
∴∠BAC=90°，即∠BAO+∠CAO=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠BAO，
而∠CAD=∠B，
∴∠BAO=∠CAD，
∴∠CAD+∠CAO=90°，即∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∴直線AD是⊙O的切線；

（2）在Rt△ABC中，sinB=sin∠CAD=

2

4

，
而sinB=

AC

BC

，BC=8，
∴AC=2

2

，
∴AB=

BC2-AC2

=2

14

，
∵∠CAD=∠B，
∴△DAC∽△DBA，
∴

CD

AD

=

AC

AB

=

2 2

2 14

=

1

7

，即AD=

7

CD，
在Rt△OAD中，OA=OC=4，
∵OA²+AD²=OD²，
∴4²+（

7

CD）²=（4+CD）²，
∴CD=

4

3

．

點評：本題考查了切線的判定：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質以及圓周角定理的推論．