【題目】我們知道,若線段上的個(gè)點(diǎn)把這條線段分制為兩部分,其中較長(zhǎng)的一部分與全長(zhǎng)之比等于時(shí),則這個(gè)點(diǎn)稱為黃金分割點(diǎn)。類比三角形中線的定義,我們規(guī)定:連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的黃金分割點(diǎn)的線段叫做該三角形的黃金分割線.
(1)如圖1,CD是△ABC的黃金分割線(AD> BD),△ABC的面積為4,求△ACD的面積 ;
(2)如圖2,在△ABC中,∠A= 36°,AB=AC=1,過(guò)點(diǎn)B作BD平分∠ABC,與AC相交于點(diǎn)D,求證: BD是△ABC的黃金分割線.
(3)如圖3,BE、CD是△ABC的黃金分割線(AD> BD,AE> CE),BE、CD相交于點(diǎn)O.
①設(shè)△BOD與△COE的面積分別為S1、S2 ,請(qǐng)猜想S1、S2之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
②求的值.
【答案】(1)2-2;(2)見解析;(3)①S1=S2;②.
【解析】
(1)設(shè)△ABC中AB邊上的高為h,根據(jù)AD=AB,得出S△ACD=×ABh,從而可求出△ACD的面積;
(2)根據(jù)題意得出AD=BD=BC,求得△BCD∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得CD:BC=BC:AC,求得BC即可得解;
(3)①連接ED,根據(jù)題意得出S△ABE=S△ACD,即可得解;②求得△ADE∽△ABC,進(jìn)一步求得△ODE∽△OCB,然后根據(jù)OD:OC=DE:BC=求解即可.
(1)根據(jù)題意可知:AD:AB=,設(shè)△ABC中AB邊上的高為h,
則AD=AB,
∴S△ACD=ADh=×ABh=×4=2-2;
(2)∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=72°,
∵過(guò)點(diǎn)B作BD平分∠ABC,與AC相交于點(diǎn)D,
∴∠CBD=∠A=36°,∠BDC=∠C=72°,
∴AD=BD=BC,
∴△BCD∽△ABC,
∴CD:BC=BC:AC,即,
解得BC=,
∴AD=,即D點(diǎn)是AC的黃金分割點(diǎn),
∴BD是△ABC的黃金線;
(3)①S1=S2,理由如下:
如圖,連接ED,
根據(jù)題意可得AD:AB=AE:AC=,
∴S△ABE:S△ABC=S△ACD
∴S△ABE=S△ACD,
∴S△COE=S△BOD,即S1=S2;
②由①得AD:AB=AE:AC,
又∵∠A是公共角,
∴△ADE∽△ABC,
∴∠DEA=∠BCA,DE:BC=AE:AC=,
∴DE∥BC,
∴△ODE∽△OCB,
∴OD:OC=DE:BC=,
∴OD:CD==.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一個(gè)不透明的布袋里裝有4個(gè)標(biāo)有數(shù)字為-3、-1、2、4的小球,它們的材質(zhì)、形狀、大小完全相同,小明從布袋里隨機(jī)取出一個(gè)小球,記下數(shù)字為x,小紅從剩下的3個(gè)小球中隨機(jī)取出一個(gè)小球,記下數(shù)字為y,這樣確定了點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y).
(1)請(qǐng)你運(yùn)用畫樹狀圖或列表的方法,寫出點(diǎn)P所有可能的坐標(biāo);
(2)求出點(diǎn)P(x,y)滿足x+y>1的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2+2x+2k﹣4=0兩個(gè)實(shí)數(shù)根,并且x1≠x2.
(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)若k為正整數(shù),且該方程的根都是整數(shù),求k的值;
(3)若|x1﹣x2|=6,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C,且點(diǎn)B剛好落在A′B′上,若∠A=25°,∠BCA′=45°,求∠A′BA的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在由邊長(zhǎng)均為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn))上,請(qǐng)按要求完成下列各題.
(1)試證明△ABC是直角三角形;
(2)判斷△ABC和△DEF是否相似,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象,利用圖象解答下列問(wèn)題:
(1)求方程的解:
(2)求不等式的解集;
(3)若,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近視鏡鏡片的焦距(單位:米)是鏡片的度數(shù)(單位:度)的函數(shù),下表記錄了一組數(shù)據(jù):
(單位:度) | … | 100 | 250 | 400 | 500 | … |
(單位:米) | … | 1.00 | 0.40 | 0.25 | 0.20 | … |
(1)在下列函數(shù)中,符合上述表格中所給數(shù)據(jù)的是_________;
A. B. C. D.
(2)利用(1)中的結(jié)論計(jì)算:當(dāng)鏡片的度數(shù)為200度時(shí),鏡片的焦距約為________米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形 ABCD 中,點(diǎn) E,F 分別在 BC 和 AB 上,BE=3,AF=2,BF=4,將△ BEF 繞點(diǎn) E 順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到△GEH,當(dāng)點(diǎn) H 落在 CD 邊上時(shí),F,H 兩點(diǎn)之間的距離為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,中,,把繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,點(diǎn)在上.
(1)若,求得度數(shù);
(2)若,,求中邊上的高.
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