Question

如圖1，△ABC中，AB=AC，過B點作射線BE，過C點作射線CF，使∠ABE=∠ACF，且射線BE，CF交于點D．過A點作AM⊥BD于M．
（1）求證：BM=DM+DC．
（2）如圖2，將射線BE，CF分別繞點B和點C順時針旋轉(zhuǎn)至如圖位置，若∠ABE=∠ACF仍然成立，射線BE交射線CF的反向延長線于點D，過A點作AM⊥BD于M．請問（1）中的結論是否還成立？如果成立，請證明．如果不成立，線段BM，DM，DC又有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）作AN⊥CF于N，連接AD，先通過△AMB≌△ANC求得BM=CN=CD+DN，AM=AN，然后通過證明RT△AMD≌RT△AND得出DM=DN，即可求得．
（2）作AN⊥CF于N，連接AD，先通過△AMB≌△ANC求得BM=CN=DN-DC，AM=AN，然后通過證明RT△AMD≌RT△AND得出DM=DN，即可求得BM=DM-DC．

解答：解：（1）作AN⊥CF于N，連接AD，
∵AM⊥BD，
∴∠AMB=∠ADC=90°，
在△AMB與△ANC中，

∠ABE=∠ACF ∠AMB=∠ADC AB=AC

∴△AMB≌△ANC（AAS）
∴BM=CN=CD+DN，AM=AN，
在Rt△AMD與RT△AND中

AM=AN AD=AD

∴RT△AMD≌RT△AND（HL）
∴DM=DN，
∴BM=CD+DM．

（2）不成立，BM=DM-DC；
作AN⊥CF于N，連接AD，
∵AM⊥BD，
∴∠AMB=∠ADC=90°，
在△AMB與△ANC中，

∠ABE=∠ACF ∠AMB=∠ADC AB=AC

∴△AMB≌△ANC（AAS）
∴BM=CN=DN-DC，AM=AN，
在Rt△AMD與RT△AND中

AM=AN AD=AD

∴RT△AMD≌RT△AND（HL）
∴DM=DN，
∴BM=DM-DC．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形全等的判定和性質(zhì)，增添輔助線構建全等三角形是本題的關鍵．