Question

如圖15.1，已知拋物線C經(jīng)過原點(diǎn)，對稱軸x=-3與拋物線相交于第三象限的點(diǎn)M，與x軸相交于點(diǎn)N，且tan∠MON = 3.

(1)求拋物線C的解析式；

(2)將拋物線C繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180º得到拋物線C’，拋物線C’與x軸的另一交點(diǎn)為A，B為拋物線C’上橫向坐標(biāo)為2的點(diǎn). www.12999.com

①若P為線段AB上一動點(diǎn)，PD⊥y軸于點(diǎn)D，求△APD面積的最大值；

②過線段OA上的兩點(diǎn)E、F分別作x軸的垂線，交折線 O –B -A于點(diǎn)E₁、F₁，再分別以線段EE₁、FF₁為邊作如圖15.2所示的等邊△EE₁E₂、等邊△FF₁F₂,點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)F以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動，當(dāng)△EE₁E₂有一邊與△FF₁F₂的某一邊在同一直線上時(shí)，求時(shí)間t的值.

Answer 1

解：（1）對稱軸MN的解析式為x =-3, ON=3,tan∠MON = 3 ,MN=9,M（-3，-9），

令拋物線C的解析式為y=a(x+3)2-9，它經(jīng)過原點(diǎn)，則0=a(0+3)2-9, a=1,

y=1(x+3)2-9=x2+6x ，所以拋物線C的解析式為y=x2+6x；

（2）①拋物線C’的解析式為

y=- x2+6x，當(dāng)y=0時(shí)，x=0或6，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）， 點(diǎn)B在拋物線C’上，且其橫坐標(biāo)為2，y=8,有點(diǎn)B（2，8），直線AB的解析式為

y=-2x +12 ,點(diǎn)P在線段AB上，令點(diǎn)P的坐標(biāo)為（p,-2p+12）,

 S△APD = 12p(-2p+12)=- p2+6p =-(p-3)2+9,當(dāng)p=3（2<3<8）時(shí)，

S△APD 的max值為9；

② 據(jù)（2）①知，直線OB解析式為y=4x,

直線AB解析式為y=-2x +12；

如圖15.3, ∵EE1//FF1, △EE1E2、△FF1F2是等邊三角形，∴E1E2//FF2，EE2//F1F2，

直線EE1的解析式為x=t,直線FF1的解析式為x=6-t,令E1 (t,y)則有E（t,0）、

E2 (t+ 32,y2)，設(shè)直線EE2的解析式為

y=33x + a,直線F1F2的解析式為y= 33x + b,直線E1E2的解析式

為y=- 33x + c,直線FF2的解析式為y=- 33x + d，

Ⅰ、當(dāng)EE1與FF1在同一直線上時(shí)，x=t=6-t，t=3 ；

Ⅱ、當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)E1在直線OB上，點(diǎn)F1在直線AB上，有E（t,0）、E1 (t,4t)、F (6-t,0)、F1（6-t,2t）

(a)當(dāng)EE2與F1F2在同一直線上時(shí)，有0 = 33t + a，a=- 33t,

2t= 33(6-t) + b, b= (2+ 33)t-23, a=b, - 33t=(2+ 33)t-23,

t= 32；新 課 標(biāo) 第 一 網(wǎng)

(b) 當(dāng)E1E2與FF2在同一直線上時(shí)，有4t=- 33t + c，c=(4+ 33)t,

0=- 33(6-t) + d, d=23- 33t, c=d, (4+ 33)t = 2 3- 33t,

t= 311；

通過作圖觀察可知，當(dāng)2<t≤6時(shí)，EE1與FF1不可能在同一直線上，E1E2與FF2也不可能在同一直線上。

綜上所述，當(dāng)△EE1E2有一邊與△FF1F2的某一邊在同一直線上時(shí)，t的值為3，32或 311.