【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(0,2).
(1)若點(diǎn)(﹣,0)也在該拋物線上,求a,b滿足的關(guān)系式;
(2)若該拋物線上任意不同兩點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)都滿足:當(dāng)x1<x2<0時(shí),(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0;當(dāng)0<x1<x2時(shí),(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0.以原點(diǎn)O為心,OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B,C,且△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°.
①求拋物線的解析式;
②若點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對稱,且O,M,N三點(diǎn)共線,求證:PA平分∠MPN.
【答案】(1)2a﹣b+2=0(a≠0);(2)①y=﹣x2+2;②詳見解析.
【解析】
(1)由拋物線經(jīng)過點(diǎn)A可求出c=2,再把(﹣,0)代入拋物線的解析式,即可得2a﹣b+2=0(a≠0);
(2)①根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出拋物線的對稱軸為y軸、開口向下,進(jìn)而可得出b=0,由拋物線的對稱性可得出△ABC為等腰三角形,結(jié)合其有一個(gè)60°的內(nèi)角可得出△ABC為等邊三角形,設(shè)線段BC與y軸交于點(diǎn)D,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)C的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法可求出a值,即可求得拋物線的解析式;②由①的結(jié)論可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1,﹣+2)、點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x2,﹣+2),由O、M、N三點(diǎn)共線可得出x2=﹣,進(jìn)而可得出點(diǎn)N及點(diǎn)N′的坐標(biāo),由點(diǎn)A、M的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AM的解析式,利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)N′在直線PM上,進(jìn)而即可證出PA平分∠MPN.
(1)∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(0,2),
∴c=2.
又∵點(diǎn)(﹣,0)也在該拋物線上,
∴a(﹣)2+b(﹣)+c=0,
∴2a﹣b+2=0(a≠0).
(2)①∵當(dāng)x1<x2<0時(shí),(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0,
∴x1﹣x2<0,y1﹣y2<0,
∴當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而增大;
同理:當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小,
∴拋物線的對稱軸為y軸,開口向下,
∴b=0.
∵OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B、C,
∴△ABC為等腰三角形,
又∵△ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°,
∴△ABC為等邊三角形.
設(shè)線段BC與y軸交于點(diǎn)D,則BD=CD,且∠OCD=30°,
又∵OB=OC=OA=2,
∴CD=OCcos30°=,OD=OCsin30°=1.
不妨設(shè)點(diǎn)C在y軸右側(cè),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(,﹣1).
∵點(diǎn)C在拋物線上,且c=2,b=0,
∴3a+2=﹣1,
∴a=﹣1,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2.
②證明:由①可知,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1,﹣+2),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x2,﹣+2).
直線OM的解析式為y=k1x(k1≠0).
∵O、M、N三點(diǎn)共線,
∴x1≠0,x2≠0,且=,
∴﹣x1+=﹣x2+,
∴x1﹣x2=﹣,
∴x1x2=﹣2,即x2=﹣,
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(﹣,﹣+2).
設(shè)點(diǎn)N關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)N′,則點(diǎn)N′的坐標(biāo)為(,﹣+2).
∵點(diǎn)P是點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn),
∴OP=2OA=4,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,4).
設(shè)直線PM的解析式為y=k2x+4,
∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,﹣+2),
∴﹣+2=k2x1+4,
∴k2=﹣,
∴直線PM的解析式為y=﹣+4.
∵﹣+4==﹣+2,
∴點(diǎn)N′在直線PM上,
∴PA平分∠MPN.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O的半徑為1,AC是⊙O的直徑,過點(diǎn)C作⊙O的切線BC,E是BC的中點(diǎn),AB交⊙O于D點(diǎn).
(1)直接寫出ED和EC的數(shù)量關(guān)系:_________;
(2)DE是⊙O的切線嗎?若是,給出證明;若不是,說明理由;
(3)填空:當(dāng)BC=_______時(shí),四邊形AOED是平行四邊形,同時(shí)以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖 1,在△ ABC中,∠ACB = 2∠B, ∠BAC的平分線AO交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)H為AO上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)H作直線l⊥ AO于H,分別交直線AB、AC、BC于點(diǎn)N、E、M
(1)當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)(如圖 2),求證:NH = CH;
(2)當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí),寫出CE和CD之間的等量關(guān)系,并加以證明;
(3)請直接寫出BN、CE、CD之間的等量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,下列判斷正確的是( 。
A. 1一定不是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根
B. 0一定不是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根
C. 1和﹣1都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根
D. 1和﹣1不都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作EF∥AB交BC于F,交AC于E,過點(diǎn)O作OD⊥BC于D,下列四個(gè)結(jié)論:
①∠AOB=90°+∠C;
②AE+BF=EF;
③當(dāng)∠C=90°時(shí),E,F分別是AC,BC的中點(diǎn);
④若OD=a,CE+CF=2b,則S△CEF=ab.
其中正確的是( 。
A.①②B.③④C.①②④D.①③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:如果經(jīng)過三角形一個(gè)頂點(diǎn)的線段把這個(gè)三角形分成兩個(gè)小三角形,其中一個(gè)三角形是等腰三角形,另外一個(gè)三角形和原三角形的三個(gè)內(nèi)角分別相等,那么這條線段稱為原三角形的“和諧分割線”,例如:如圖1,等腰直角三角形斜邊上的中線就是一條“和諧分割線”.
(1)判斷(對的打“√”,錯(cuò)的打“×”)
①等邊三角形存在“和諧分割線”( )
②如果三角形中有一個(gè)角是另一個(gè)角的兩倍,則這個(gè)三角形必存在“和諧分割線”( )
(2)如圖2,Rt△ABC,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,請用尺規(guī)畫出“和諧分割線”,并計(jì)算“和諧分割線”的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長都為1,網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)△ABC(即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上).
(1)△ABC的面積為__________;
(2)在圖中作出△ABC關(guān)于直線MN的對稱圖形△A′B′C′.
(3)利用網(wǎng)格紙,在MN上找一點(diǎn)P,使得PB+PC的距離最短.( 保留痕跡)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工程隊(duì)承接了60萬平方米的綠化工程,由于情況有變,……設(shè)原計(jì)劃每天綠化的面積為萬平方米,列方程為,根據(jù)方程可知省略的部分是( )
A. 實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃提高了結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)
B. 實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃提高了,結(jié)果延誤30天完成了這一任務(wù)
C. 實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃降低了,結(jié)果延誤30天完成了這一任務(wù)
D. 實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃降低了,結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD⊥BC,垂足為D,AD=4,BD=2,CD=8.
(1)求證:∠BAC=90°;
(2)P為BC邊上一點(diǎn),連接AP,若△ABP為等腰三角形,請求出BP的長.
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