【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點M、N,點P在AB的延長線上,且.
(1)求證:直線CP是⊙O的切線.
(2)若,,求直徑AC的長及點B到AC的距離.
(3)在第(2)的條件下,求的周長.
【答案】(1)證明見解析;
(2)AC=5,B到AC的距離為:4;
(3).
【解析】
(1))根據(jù)∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP,在△ABC中,∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°,得到2∠BCP+2∠BCA=180°,從而得到∠BCP+∠BCA=90°,證得直線CP是⊙O的切線;
(2)作BD⊥AC于點D,得到BD∥PC,從而利用sin∠BCP= sin∠DBC,求得DC=2,再根據(jù)勾股定理求得點B到AC的距離,連接AN,然后再在直角三角形中利用三角函數(shù)求得AC即可;
(3)由BD∥PC求得△ABD∽△APC,利用對應(yīng)邊成比例求得CP、BP的長度,從而求得△BCP的周長.
解:(1)∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP,在△ABC中,∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°,
∴2∠BCP+2∠BCA=180°,
∴∠BCP+∠BCA=90°,即∠PCA=90°,
又∵AC是⊙O的直徑,
∴直線CP是⊙O的切線;
(2)如圖:
作BD⊥AC于點D,
∵PC⊥AC,
∴BD∥PC,
∴∠PCB=∠DBC
∵BC=2,sin∠BCP=,
∴sin∠BCP= sin∠DBC=,解得:DC=2,
∴由勾股定理得:BD=4,
∴點B到AC的距離為4;
連接AN,在Rt△ACN中,CN= ,
∴AC==5;
(3)∵CD=2,
∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3,
∵∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC=5,
∵BD∥CP,
∴△ABD∽△APC,
∴,即,
∴CP=,PB=,
∴△BCP的周長為BC+CP+BP=++=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,點M是AC邊的中點,點N是BC邊上的任意一點,若點C關(guān)于直線MN的對稱點C′恰好落在△ABC的中位線上,則CN的長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為1,對角線AC、BD相交于點O,延長CB至點E,使CE=CA,連接AE,在AB上取一點N,使BN=BE,連接CN并延長,分別交BD、AE于點M、F,連接FO.
(1) 求證:△ABE ≌△CBN;(2) 求FO的長;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解八年級學(xué)生的視力情況,隨機抽樣調(diào)查了部分八年級學(xué)生的視力,以下是根據(jù)調(diào)査結(jié)果繪制的統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖的一部分.根據(jù)以上信息,解答下列問題:
分組 | 視力 | 人數(shù) |
A | 3.95≤x≤4.25 | 2 |
B | 4.25<x≤4.55 | a |
C | 4.55<x≤4.85 | 20 |
D | 4.85<x≤5.15 | b |
E | 5.15<x≤5.45 | 3 |
(1)統(tǒng)計表中,a=______,b=______;
(2)視力在4.85<x≤5.15范圍內(nèi)的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查學(xué)生數(shù)的百分比是______;
(3)本次調(diào)查中,視力的中位數(shù)落在______組;
(4)若該校八年級共有400名學(xué)生,則視力超過4.85的學(xué)生約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線l1∥l2∥l3,等腰直角三角形ABC的三個頂點A,B,C分別在l1,l2,l3上,∠ACB=90°,AC交l2于點D,已知l1與l2的距離為1,l2與l3的距離為3,則的值為_____.
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【題目】一列動車從A地開往B地,一列普通列車從B地開往A地,兩車均勻速行駛并同時出發(fā),設(shè)普通列車行駛的時間為x(小時),兩車之間的距離為y(千米),如圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系,下列說法中正確的是:( 。
①AB兩地相距1000千米;②兩車出發(fā)后3小時相遇;③普通列車的速度是100千米/小時;④動車從A地到達B地的時間是4小時.
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)與反比例函數(shù)y=(a≠0)的圖象在第一象限交于A、B兩點,A點的坐標為(m,4),B點的坐標為(3,2),連接OA、OB,過B作BD⊥y軸,垂足為D,交OA于C.若OC=CA,
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式;
(2)求△AOB的面積;
(3)在直線BD上是否存在一點E,使得△AOE是直角三角形,求出所有可能的E點坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+3與坐標軸分別交于點A,B(﹣3,0),C(1,0),點P是線段AB上方拋物線上的一個動點.
(1)求拋物線解析式;
(2)當點P運動到什么位置時,△PAB的面積最大?
(3)過點P作x軸的垂線,交線段AB于點D,再過點P作PE∥x軸交拋物線于點E,連接DE,請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形?若存在,求點P的坐標;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如圖所示的方式放置.點A1,A2,A3,…和點C1,C2,C3,…分別在直線y=kx+b和x軸上,已知點B1(1,1),B2(3,2),則B4的坐標_____,Bn的坐標_____.
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