【題目】已知:如圖,拋物線yax2+bx+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,B(﹣3,0),C10),點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

1)求拋物線解析式;

2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△PAB的面積最大?

3)過(guò)點(diǎn)Px軸的垂線,交線段AB于點(diǎn)D,再過(guò)點(diǎn)PPEx軸交拋物線于點(diǎn)E,連接DE,請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形?若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=﹣x22x+3 2)(﹣,) (3)存在,P(﹣2,3)或P(,

【解析】

(1)用待定系數(shù)法求解;(2)過(guò)點(diǎn)PPHx軸于點(diǎn)H,交AB于點(diǎn)F,直線AB解析式為yx+3,設(shè)Pt,﹣t2﹣2t+3)(﹣3<t<0),則Ft,t+3),則PF=﹣t2﹣2t+3﹣(t+3)=﹣t2﹣3t,根據(jù)SPABSPAF+SPBF寫出解析式,再求函數(shù)最大值;(3)設(shè)Pt,﹣t2﹣2t+3)(﹣3<t<0),則Dtt+3),PD=﹣t2﹣3t,由拋物線y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,由對(duì)稱軸為直線x=﹣1,PEx軸交拋物線于點(diǎn)E,得yEyP,即點(diǎn)E、P關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,所以=﹣1,得xE=﹣2﹣xP=﹣2﹣t,故PE=|xExP|=|﹣2﹣2t|,由△PDE為等腰直角三角形,∠DPE=90°,得PD=PE,再分情況討論:①當(dāng)﹣3<t≤﹣1時(shí),PE=﹣2﹣2t;②當(dāng)﹣1<t<0時(shí),PE=2+2t

解:(1)∵拋物線yax2+bx+3過(guò)點(diǎn)B(﹣3,0),C(1,0)

解得:

∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3

(2)過(guò)點(diǎn)PPHx軸于點(diǎn)H,交AB于點(diǎn)F

x=0時(shí),y=﹣x2﹣2x+3=3

A(0,3)

∴直線AB解析式為yx+3

∵點(diǎn)P在線段AB上方拋物線上

∴設(shè)Pt,﹣t2﹣2t+3)(﹣3<t<0)

Ft,t+3)

PF=﹣t2﹣2t+3﹣(t+3)=﹣t2﹣3t

SPABSPAF+SPBFPFOH+PFBHPFOB(﹣t2﹣3t)=﹣t+2+

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)為(﹣),△PAB面積最大

(3)存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形

設(shè)Pt,﹣t2﹣2t+3)(﹣3<t<0),則Dt,t+3)

PD=﹣t2﹣2t+3﹣(t+3)=﹣t2﹣3t

∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4

∴對(duì)稱軸為直線x=﹣1

PEx軸交拋物線于點(diǎn)E

yEyP,即點(diǎn)EP關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱

=﹣1

xE=﹣2﹣xP=﹣2﹣t

PE=|xExP|=|﹣2﹣2t|

∵△PDE為等腰直角三角形,∠DPE=90°

PDPE

①當(dāng)﹣3<t≤﹣1時(shí),PE=﹣2﹣2t

∴﹣t2﹣3t=﹣2﹣2t

解得:t1=1(舍去),t2=﹣2

P(﹣2,3)

②當(dāng)﹣1<t<0時(shí),PE=2+2t

∴﹣t2﹣3t=2+2t

解得:t1,t2(舍去)

P,

綜上所述,點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣2,3)或()時(shí)使△PDE為等腰直角三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】為了解學(xué)生身高,某校隨機(jī)抽取了25位同學(xué)的身高,按照身高分為:A,BC,D,E五個(gè)小組,并繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖,其中每組數(shù)據(jù)均包含最小值,不包含最大值.

請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖,解決下列問(wèn)題:

(1)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在_____組;

(2)根據(jù)各小組的組中值,估計(jì)該校同學(xué)的平均身高;

(3)小明認(rèn)為在題(2)的計(jì)算中,將DE兩組的組中值分別用1.70m1.90m進(jìn)行替換,并不影響計(jì)算結(jié)果.他的想法正確嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】如圖,在ABC中,∠ABC=ACB,以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點(diǎn)MN,點(diǎn)PAB的延長(zhǎng)線上,且

1)求證:直線CP是⊙O的切線.

2)若,求直徑AC的長(zhǎng)及點(diǎn)BAC的距離.

3)在第(2)的條件下,求的周長(zhǎng).

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【題目】“只要人人獻(xiàn)出一點(diǎn)愛(ài),世界將變成美好的人間”.某大學(xué)利用“世界獻(xiàn)血日”開(kāi)展自愿義務(wù)獻(xiàn)血活動(dòng),經(jīng)過(guò)檢測(cè),獻(xiàn)血者血型有“AB、AB、O”四種類型,隨機(jī)抽取部分獻(xiàn)血結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì),根據(jù)結(jié)果制作了如圖兩幅不完整統(tǒng)計(jì)圖表(表,圖):

血型統(tǒng)計(jì)表

血型

A

B

AB

O

人數(shù)

   

10

5

   

1)本次隨機(jī)抽取獻(xiàn)血者人數(shù)為   人,圖中m   ;

2)補(bǔ)全表中的數(shù)據(jù);

3)若這次活動(dòng)中該校有1300人義務(wù)獻(xiàn)血,估計(jì)大約有多少人是A型血?

4)現(xiàn)有4個(gè)自愿獻(xiàn)血者,2人為O型,1人為A型,1人為B型,若在4人中隨機(jī)挑選2人,利用樹(shù)狀圖或列表法求兩人血型均為O型的概率.

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【題目】如圖,在ABCD 中,對(duì)角線 AC BD 相交于點(diǎn) O ,點(diǎn) E , F 分別為 OB , OD 的中點(diǎn),延長(zhǎng) AE G ,使 EG AE ,連接 CG

1)求證: ABE≌△CDF ;

2)當(dāng) AB AC 滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí),四邊形 EGCF 是矩形?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】2011山東濟(jì)南,27,9分)如圖,矩形OABC中,點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,0).拋物線經(jīng)過(guò)AC兩點(diǎn),與AB邊交于點(diǎn)D

1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

2)點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),點(diǎn)Q為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),AQ=CP,連接PQ,設(shè)CP=m△CPQ的面積為S

S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式,并求出m為何值時(shí),S取得最大值;

當(dāng)S最大時(shí),在拋物線的對(duì)稱軸l上若存在點(diǎn)F,使△FDQ為直角三角形,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】某校舉行漢字聽(tīng)寫比賽,每位學(xué)生聽(tīng)寫漢字39個(gè).比賽結(jié)束后隨機(jī)抽查部分學(xué)生聽(tīng)寫結(jié)果,圖1,圖2是根據(jù)抽查結(jié)果繪制的統(tǒng)計(jì)圖的一部分.

組別

聽(tīng)寫正確的個(gè)數(shù)x

人數(shù)

A

0≤x8

10

B

8≤x16

15

C

16≤x24

25

D

24≤x32

m

E

32≤x40

n

根據(jù)以上信息解決下列問(wèn)題:

1)本次共隨機(jī)抽查了多少名學(xué)生,求出mn的值并補(bǔ)全圖2的條形統(tǒng)計(jì)圖;

2)求出圖1中∠α的度數(shù);

3)該校共有3000名學(xué)生,如果聽(tīng)寫正確的個(gè)數(shù)少于24個(gè)定為不合格,請(qǐng)你估計(jì)這所學(xué)校本次比賽聽(tīng)寫不合格的學(xué)生人數(shù).

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【題目】小穎同學(xué)在手工制作中,把一個(gè)邊長(zhǎng)為12cm的等邊三角形紙片貼到一個(gè)圓形的紙片上,若三角形的三個(gè)頂點(diǎn)恰好都在這個(gè)圓上,則圓的半徑為_____

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【題目】某商場(chǎng)將每件進(jìn)價(jià)為80元的A商品按每件100元出售,一天可售出128件.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查,發(fā)現(xiàn)這種商品的銷售單價(jià)每降低1元,其日銷量可增加8件.設(shè)該商品每件降價(jià)x元,商場(chǎng)一天可通過(guò)A商品獲利潤(rùn)y元.

(1)求y與x之間的函數(shù)解析式(不必寫出自變量x的取值范圍)

(2)A商品銷售單價(jià)為多少時(shí),該商場(chǎng)每天通過(guò)A商品所獲的利潤(rùn)最大?

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