【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E,使CE=CA,連接AE,在AB上取一點(diǎn)N,使BN=BE,連接CN并延長(zhǎng),分別交BD、AE于點(diǎn)M、F,連接FO.
(1) 求證:△ABE ≌△CBN;(2) 求FO的長(zhǎng);
【答案】(1)見解析;(2)FO=.
【解析】
(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC,進(jìn)而可得△ABE≌△CBN;
(2)先判斷出∠CFE=90°,進(jìn)而判斷出AF=EF,即可得出FO是△ACE的中位線即可.
解:(1)∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,
∴AB=BC=1,AC= ,∠ABC=90°,
在△ABE和△CBN中,,
∴△ABE≌△CBN;
(2)由(1)知,△ABE≌△CBN,
∴∠BNC=∠AEB,
∵∠BNC+∠BCN=90°,
∴∠AEB+∠BCN=90°,
∴∠EFC=90°,
∵AC=CE,
∴AF=EF,
∵點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),
∴OA=OC,
∴OF是△ACE的中位線,
∴FO=CE=AC=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】發(fā)現(xiàn)問題:如圖1,直線a∥b,點(diǎn)B、C在直線b上,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),過點(diǎn)D的直線與a,b分別相交于M、N兩點(diǎn),與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,若△ABC的面積為1,則四邊形AMNB的面積為 ;
探究問題:如圖2,Rt△ABC中,∠DAC=∠BAC,DA=2,求△ABC面積的最小值;
拓展應(yīng)用:如圖3,矩形花園ABCD的長(zhǎng)AD為400米,寬CD為300米,供水點(diǎn)E在小路AC上,且AE=2CE,現(xiàn)想沿BC上一點(diǎn)M和CD上一點(diǎn)N修一條小路MN,使得MN經(jīng)過E,并在四邊形AMCN圍城的區(qū)域內(nèi)種植花卉,剩余區(qū)域鋪設(shè)草坪根據(jù)項(xiàng)目的要求種植花卉的區(qū)域要盡量。(qǐng)根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)求出四邊形AMCN面積的最小值,及面積取最小時(shí)點(diǎn)M、N的位置.(小路的寬忽略不計(jì))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn),沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于點(diǎn)F.若△AB′F為直角三角形,則AE的長(zhǎng)為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解學(xué)生身高,某校隨機(jī)抽取了25位同學(xué)的身高,按照身高分為:A,B,C,D,E五個(gè)小組,并繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖,其中每組數(shù)據(jù)均包含最小值,不包含最大值.
請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖,解決下列問題:
(1)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在_____組;
(2)根據(jù)各小組的組中值,估計(jì)該校同學(xué)的平均身高;
(3)小明認(rèn)為在題(2)的計(jì)算中,將D,E兩組的組中值分別用1.70m和1.90m進(jìn)行替換,并不影響計(jì)算結(jié)果.他的想法正確嗎?請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,CB=CA,∠ACB=90°,點(diǎn)D在邊BC上(與B、C不重合),四邊形ADEF為正方形,過點(diǎn)F作FG⊥CA,交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接FB,交DE于點(diǎn)Q,給出以下結(jié)論:①AC=FG;②S△FAB:S四邊形CBFG=1:2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQAC,其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,G是BC中點(diǎn),DE⊥AG于E,BF⊥AG于F,GN∥DE,M是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)。
(1)求證:△ABF≌△DAE
(2)尺規(guī)作圖:作∠DCM的平分線,交GN于點(diǎn)H(保留作圖痕跡,不寫作法和證明),試證明GH=AG。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=2,點(diǎn)O是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心,OA為半徑作⊙O,與邊AC交于點(diǎn)M.
(1)如圖1,當(dāng)⊙O經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),⊙O的直徑是 ;
(2)如圖2,當(dāng)⊙O與邊BC相切時(shí),切點(diǎn)為點(diǎn)N,試求⊙O與△ABC重合部分的面積;
(3)如圖3,當(dāng)⊙O與邊BC相交時(shí),交點(diǎn)為E、F,設(shè)CM=x,就判斷AEAF是否為定值,若是,求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點(diǎn)M、N,點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上,且.
(1)求證:直線CP是⊙O的切線.
(2)若,,求直徑AC的長(zhǎng)及點(diǎn)B到AC的距離.
(3)在第(2)的條件下,求的周長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校舉行“漢字聽寫”比賽,每位學(xué)生聽寫漢字39個(gè).比賽結(jié)束后隨機(jī)抽查部分學(xué)生聽寫結(jié)果,圖1,圖2是根據(jù)抽查結(jié)果繪制的統(tǒng)計(jì)圖的一部分.
組別 | 聽寫正確的個(gè)數(shù)x | 人數(shù) |
A | 0≤x<8 | 10 |
B | 8≤x<16 | 15 |
C | 16≤x<24 | 25 |
D | 24≤x<32 | m |
E | 32≤x<40 | n |
根據(jù)以上信息解決下列問題:
(1)本次共隨機(jī)抽查了多少名學(xué)生,求出m,n的值并補(bǔ)全圖2的條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)求出圖1中∠α的度數(shù);
(3)該校共有3000名學(xué)生,如果聽寫正確的個(gè)數(shù)少于24個(gè)定為不合格,請(qǐng)你估計(jì)這所學(xué)校本次比賽聽寫不合格的學(xué)生人數(shù).
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