【題目】在平面直角坐標系中,拋物線y=x2+(k﹣1)x﹣k與直線y=kx+1交于A,B兩點,點A在點B的左側(cè).
(1)如圖1,當(dāng)k=1時,直接寫出A,B兩點的坐標;
(2)在(1)的條件下,點P為拋物線上的一個動點,且在直線AB下方,試求出△ABP面積的最大值及此時點P的坐標;
(3)如圖2,拋物線y=x2+(k﹣1)x﹣k(k>0)與x軸交于點C、D兩點(點C在點D的左側(cè)),在直線y=kx+1上是否存在唯一一點Q,使得∠OQC=90°?若存在,請求出此時k的值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:當(dāng)k=1時,拋物線解析式為y=x2﹣1,直線解析式為y=x+1.
聯(lián)立兩個解析式,得:x2﹣1=x+1,
解得:x=﹣1或x=2,
當(dāng)x=﹣1時,y=x+1=0;當(dāng)x=2時,y=x+1=3,
∴A(﹣1,0),B(2,3)
(2)
解:方法一:設(shè)P(x,x2﹣1).
如答圖2所示,過點P作PF∥y軸,交直線AB于點F,則F(x,x+1).
∴PF=yF﹣yP=(x+1)﹣(x2﹣1)=﹣x2+x+2.
S△ABP=S△PFA+S△PFB= PF(xF﹣xA)+ PF(xB﹣xF)= PF(xB﹣xA)= PF
∴S△ABP= (﹣x2+x+2)=﹣ (x﹣ )2+
當(dāng)x= 時,yP=x2﹣1=﹣ .
∴△ABP面積最大值為 ,此時點P坐標為( ,﹣ )
方法二:過點P作x軸垂線,交直線AB于F,
設(shè)P(t,t2﹣1),則F(t,t+1)
∴S△ABP= (FY﹣PY)(BX﹣AX),
∴S△ABP= (t+1﹣t2+1)(2+1),
∴S△ABP=﹣ t2+ t+3,
當(dāng)t= 時,S△ABP有最大值,∴S△ABP=
(3)
解:方法一:設(shè)直線AB:y=kx+1與x軸、y軸分別交于點E、F,
則E(﹣ ,0),F(xiàn)(0,1),OE= ,OF=1.
在Rt△EOF中,由勾股定理得:EF= = .
令y=x2+(k﹣1)x﹣k=0,即(x+k)(x﹣1)=0,解得:x=﹣k或x=1.
∴C(﹣k,0),OC=k.
Ⅰ、假設(shè)存在唯一一點Q,使得∠OQC=90°,如答圖3所示,
則以O(shè)C為直徑的圓與直線AB相切于點Q,根據(jù)圓周角定理,此時∠OQC=90°.
設(shè)點N為OC中點,連接NQ,則NQ⊥EF,NQ=CN=ON= .
∴EN=OE﹣ON= ﹣ .
∵∠NEQ=∠FEO,∠EQN=∠EOF=90°,
∴△EQN∽△EOF,
∴ ,即: ,
解得:k=± ,
∵k>0,
∴k= .
∴存在唯一一點Q,使得∠OQC=90°,此時k= .
Ⅱ、若直線AB過點C時,此時直線與圓的交點只有另一點Q點,故亦存在唯一一點Q,使得∠OQC=90°,
將C(﹣k,0)代入y=kx+1中,
可得k=1,k=﹣1(舍去),
故存在唯一一點Q,使得∠OQC=90°,此時k=1.
綜上所述,k= 或1時,存在唯一一點Q,使得∠OQC=90°
方法二:∵y=x2+(k﹣1)x﹣k,
∴y=(x+k)(x﹣1),
當(dāng)y=0時,x1=﹣k,x2=1,
∴C(﹣k,0),D(1,0),
點Q在y=kx+1上,設(shè)Q(t,kt+1),O(0,0),
∵∠OQC=90°,∴CQ⊥OQ,∴KCQ×KOQ=﹣1,
∴ <
∴(k2+1)t2+3kt+1=0有唯一解,
∴△=(3k)2﹣4(k2+1)=0,
∴k1= ,k2=﹣ (k>0故舍去),∴k=
【解析】方法一:(1)當(dāng)k=1時,聯(lián)立拋物線與直線的解析式,解方程求得點A、B的坐標;(2)如答圖2,作輔助線,求出△ABP面積的表達式,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值及點P的坐標;(3)“存在唯一一點Q,使得∠OQC=90°”的含義是,以O(shè)C為直徑的圓與直線AB相切于點Q,由圓周角定理可知,此時∠OQC=90°且點Q為唯一.以此為基礎(chǔ),構(gòu)造相似三角形,利用比例式列出方程,求得k的值.需要另外注意一點是考慮直線AB是否與拋物線交于C點,此時亦存在唯一一點Q,使得∠OQC=90°.方法二:(1)聯(lián)立直線與拋物線方程求出點A,B坐標.(2)利用面積公式求出P點坐標.(3)列出定點O坐標,用參數(shù)表示C,Q點坐標,利用黃金法則二求出k的值.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把邊長為3的正方形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形AB′C′D′,邊BC與D′C′交于點O,則四邊形ABOD′的周長是( )
A. 6B. 6C. 3D. 3+3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】解方程﹣1的步驟如下:
(解析)第一步:﹣1(分數(shù)的基本性質(zhì))
第二步:2x﹣1=3(2x+8)﹣3……(①)
第三步:2x﹣1=6x+24﹣3……(②)
第四步:2x﹣6x=24﹣3+1……(③)
第五步:﹣4x=22(④)
第六步:x=﹣……(⑤)
以上解方程第二步到第六步的計算依據(jù)有:①去括號法則.②等式性質(zhì)一.③等式性質(zhì)二.④合并同類項法則.請選擇排序完全正確的一個選項( )
A. ②①③④② B. ②①③④③ C. ③①②④③ D. ③①④②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知A(-1,5),B(4,2),C(-1,0)三點.
(1)點A的對稱點A′的坐標為(1,-5),點B關(guān)于x軸的對稱點B′的坐標為________,點C關(guān)于y軸的對稱點C′的坐標為________;
(2)求(1)中的△A′B′C′的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知實數(shù)a,b,c滿足(a-)2++|c-2|=0.
(1)求a,b,c的值;
(2)試問以a,b,c為邊能否構(gòu)成三角形?若能構(gòu)成三角形,求出三角形的周長和面積;若不能構(gòu)成三角形,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小林在某商店購買商品A、B若干次(每次A、B兩種商品都購買),其中第一、二兩次購買時,均按標價購買;第三次購買時,商品A、B同時打折.三次購買商品A、B的數(shù)量和費用如表所示.
購買商品A的數(shù)量/個 | 購買商品B的數(shù)量/個 | 購買總費用/元 | |
第一次購物 | 6 | 5 | 980 |
第二次購物 | 3 | 7 | 940 |
第三次購物 | 9 | 8 | 912 |
(1)求商品A、B的標價;
(2)若商品A、B的折扣相同,問商店是打幾折出售這兩種商品的?
(3)在(2)的條件下,若小林第四次購物共花去了960元,則小林有哪幾種購買方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y= x+4與x軸、y軸分別交于點A和點B,點C、D分別為線段AB、OB的中點,點P為OA上一動點,PC+PD值最小時點P的坐標為( )
A.(﹣3,0)
B.(﹣6,0)
C.(﹣ ,0)
D.(﹣ ,0)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某船在A、B兩地之間航行,順水航行需要4小時,逆水行需要5小時,水流速度為2千米/時.
(1)求船在靜水中的速度.
(2)若船從A地順水航行到B地,然后逆流返回,到達距離A地26千米的C地,一共航行了多少小時?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,兩個連接在一起的菱形的邊長都是1cm,一只電子甲蟲從點A開始按ABCDAEFGAB…的順序沿菱形的邊循環(huán)爬行,當(dāng)電子甲蟲爬行2014cm時停下,則它停的位置是( )
A. 點F B. 點E C. 點A D. 點C
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