Question

【題目】如圖， 已知∠ABC＝90°，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合)，分別以AB、AP為邊在∠ABC的內(nèi)部作等邊△ABE和△APQ，連接QE并延長(zhǎng)交BP于點(diǎn)F. 試說明：（1）△ABP≌△AEQ；（2）EF＝BF

Answer 1

【答案】2．

【解析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AB=AE，AP=AQ，∠ABE=∠BAE=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠EAQ，根據(jù)SAS證△BAP≌△EAQ，推出∠AEQ=∠ABC=90°；
（2）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出∠ABE=∠AEB=60°，根據(jù)∠ABC=90°=∠AEQ求出∠BEF=∠EBF=30°，即可得出答案．

（1）解：△BEC是等腰三角形，

理由是：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DEC＝∠ECB，

∵CE平分∠DEB，

∴∠DEC＝∠BEC，

∴∠BEC＝∠ECB，

∴BE＝BC，

∴△BEC是等腰三角形．

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，

∵∠ABE＝45°，

∴∠AEB＝45°＝∠ABE，

∴AE＝AB＝，

由勾股定理得：BE＝，

即BC＝BE＝2．

“點(diǎn)睛”本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用．