Question

    如果一條拋物線與軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂        點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”．

（1）“拋物線三角形”一定是           三角形；

（2）若拋物線的“拋物線三角形”是直角三角形，求的值；

（3）若拋物線與x軸交與原點O和點B，拋物線的頂點坐標為A,△是的“拋物線三角形”，是否存在以原點為對稱中心的矩形？若存在，求出過三點的拋物線的表達式；若不存在，說明理由．

Answer 1

 (1)“拋物線三角形”一定是   等腰           三角形； ……………………1分        

（2）（圖略）

∵的“拋物線三角形”是直角三角形，

∴此“物線三角形”是等腰直角三角形，拋物線的頂點坐標為（b，），
把y=0代入得解得x=0或b

根據(jù)題意得=

∴b=0或2（0舍去）

∴b=2                        ……………………3分

（3）存在．

當b＜0時，作AH⊥OB于H點，如圖，
把y=0代入y=x²+bx得解得x₁=0，x₂=-b′，
∴B點坐標為（-b′，0），

∴A點坐標為（）

∵矩形ABCD以原點O為對稱中心，
∴OA=OB=OC=OD，
∴△OAB為等邊三角形，
∴AH=

解得b₁′=0,b₂

∴A點坐標為（，-3），B點坐標為（，0）
∴C點坐標為（），D點坐標為（

設(shè)過O、C、D三點的拋物線的解析式為y=ax（x-2），
把C（，3）代入得a=-1，
∴所求拋物線的表達式為y=-x²+2……………………5分

同理，當b＞0時，y=-x²-2    ……………………3分