【題目】在平面直角坐標系中,將一點(橫坐標與縱坐標不相等)的橫坐標與縱坐標互換后得到的點叫這一點的“互換點”,如(﹣3,5)與(5,﹣3)是一對“互換點”.
(1)任意一對“互換點”能否都在一個反比例函數(shù)的圖象上?為什么?
(2)M、N是一對“互換點”,若點M的坐標為(m,n),求直線MN的表達式(用含m、n的代數(shù)式表示);
(3)在拋物線y=x2+bx+c的圖象上有一對“互換點”A、B,其中點A在反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象上,直線AB經(jīng)過點P( , ),求此拋物線的表達式.

【答案】
(1)解:不一定,

設(shè)這一對“互換點”的坐標為(a,b)和(b,a).

①當ab=0時,它們不可能在反比例函數(shù)的圖象上,

②當ab≠0時,由 可得 ,即(a,b)和(b,a)都在反比例函數(shù) (k≠0)的圖象上;


(2)解:由M(m,n)得N(n,m),設(shè)直線MN的表達式為y=cx+d(c≠0).

則有 解得 ,

∴直線MN的表達式為y=﹣x+m+n;


(3)解:設(shè)點A(p,q),則 ,

∵直線AB經(jīng)過點P( , ),由(2)得 ,

∴p+q=1,

,

解并檢驗得:p=2或p=﹣1,

∴q=﹣1或q=2,

∴這一對“互換點”是(2,﹣1)和(﹣1,2),

將這一對“互換點”代入y=x2+bx+c得,

解得 ,

∴此拋物線的表達式為y=x2﹣2x﹣1.


【解析】(1)設(shè)這一對“互換點”的坐標為(a,b)和(b,a).①當ab=0時,它們不可能在反比例函數(shù)的圖象上,②當ab≠0時,由 可得 ,于是得到結(jié)論;(2)把M(m,n),N(n,m)代入y=cx+d,即可得到結(jié)論;(3)設(shè)點A(p,q),則 ,由直線AB經(jīng)過點P( , ),得到p+q=1,得到q=﹣1或q=2,將這一對“互換點”代入y=x2+bx+c得,于是得到結(jié)論.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解確定一次函數(shù)的表達式的相關(guān)知識,掌握確定一個一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法.

練習冊系列答案
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(1)已知g(x)=﹣2x2﹣3x+1,分別求出g(﹣1)和g(﹣2)的值.

(2)已知h(x)=ax3+2x2﹣x﹣14,,求a的值.

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(1)計算:(﹣1)3÷(﹣5)2×(﹣)﹣|0.8﹣1|;

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(3)猜想∠AOC 與∠BOD 的大小關(guān)系,并結(jié)合圖1說明理由.

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【題目】計算:

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(2)2×(﹣)÷(﹣3);

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若你是老師,會判馬小虎滿分嗎?若會,說明理由;若不會,請指出錯誤之處,并給出你認為正確的解法.

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