Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（2，0），（3，

3

），（1，

3

），點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為（m，

3

m），（n，

3

3

n）（m、n為非負(fù)數(shù)），則CE+DE+DB的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為（m，

3

m），（n，

3

3

n）（m、n為非負(fù)數(shù)），可知直線OD，直線OE的解析式，分別找到點(diǎn)C關(guān)于直線OE的對(duì)稱點(diǎn)C′，點(diǎn)B關(guān)于直線OF的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接C′B′，交OD于D，交OE于E，此時(shí)CE+DE+BD的值最小，求出CE+DE+BD=C′B′，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出即可．

解答：解：如圖所示：
∵點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為（m，

3

m），（n，

3

3

n）（m、n為非負(fù)數(shù)），
∴直線OD的解析式為y=

3

x，直線OE的解析式y(tǒng)=

3

3

x，
設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線OE的對(duì)稱點(diǎn)C′所在直線CC′的解析式為y=-

3

x+b，
把C的坐標(biāo)（1，

3

）代入可得-

3

+b=

3

，解得b=2

3

，
故直線CC′的解析式為y=-

3

x+2

3

，
聯(lián)立直線OE的解析式和直線CC′的解析式可得

y= 3 3 x y=- 3 x+2 3

，
解得

x=1.5 y= 3 2

．
故交點(diǎn)坐標(biāo)為（1.5，

3

2

），
∴點(diǎn)C′坐標(biāo)為（2，0），
設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線OD的對(duì)稱點(diǎn)B′所在直線BB′的解析式為y=-

3

3

x+b′，
把B的坐標(biāo)（3，

3

）代入可得-

3

+b′=

3

，解得b′=2

3

，
故直線BB′的解析式為y=-

3

3

x+2

3

，
聯(lián)立直線OD的解析式和直線BB′的解析式可得

y= 3 x y=- 3 3 x+2 3

，
解得

x=1.5 y= 3 3 2

，
故交點(diǎn)坐標(biāo)為（1.5，

3 3

2

），
∴點(diǎn)B′坐標(biāo)為（0，2

3

），
則B′C′=

22+(2 3 )2

=4，即CE+DE+DB的最小值是4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱-最短路線，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出符合條件的點(diǎn)D和E的位置．