Question

某商場6月份準(zhǔn)備出售一批進價為1500元每臺的空調(diào)，根據(jù)市場調(diào)查一般這種空調(diào)的售價f和銷售量q隨著天數(shù)x的變化如下：q=200+x，銷售價格f：當(dāng)1＜x≤30時，f=1600+

1

3

x，當(dāng)30＜x≤60時，f=1500+

3300

x

．
（1）請計算出第幾天售價為1605元每臺；
（2）寫出第x天獲得的利潤y與x的關(guān)系；
（3）這60天中，哪一天出售獲得利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）把y=1605代入函數(shù)關(guān)系式求得相應(yīng)的x的值；
（2）利潤=售價-進價；
（3）當(dāng)1＜x≤30時，利用配方法求二次函數(shù)的最值；
當(dāng)30＜x≤60時，根據(jù)雙曲線的增堿性來求反比例函數(shù)的最值．

解答：解：（1）令y=1605．則
當(dāng)1600+

1

3

x=1650時，解得 x=15（符合題意）；
當(dāng)1500+

3300

x

=1605時，解得 x=

220

7

（x不是整數(shù)，舍去）．
所以，第15天售價為1605元每臺；

（2）假設(shè)第x天獲得的利潤為W，W=每臺的利潤×銷量=（每臺售價-每臺進價）×銷量=（f-1500）×q．
當(dāng)1＜x≤30時，W=（1600+

1

3

x-1500）×（200+x）=

1

3

x²+

500

3

x+20000．
當(dāng)30＜x≤60時，W=（1500+

3300

x

-1500）×（200+x）=

660000

x

+3300；
綜上所述，第x天獲得的利潤y與x的關(guān)系為：y=

1 3 x2+ 500 3 x+20000(1＜x≤30) 660000 x +3300(30＜x≤60)

；

（3）①當(dāng)1＜x≤30時，W=

1

3

x²+

500

3

x+20000=

1

3

（x+250）²-

2500

3

．
∴對稱軸為：x=-250．
∵

1

3

＞0，
∴拋物線開口方向向上，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=30時，y_最大=

1

3

（30+250）²-

2500

3

=25300．
②設(shè)t=

660000

x

（30＜x≤60）．
∵660000＞0，
∴在第一象限內(nèi)，t隨x的增大而減小，
∴當(dāng)30＜x≤60時，

660000

x

+3300＜

660000

30

+3300．
綜上所述，當(dāng)x=30時，y_最大=25300．
答：這60天中，第30天出售獲得利潤最大，最大利潤是25300元．

點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．注意，解題時一定要分類討論，以防漏解或錯解．解答（3）題時，一定要熟悉拋物線與雙曲線的增堿性．