Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3），⊙A的半徑為2，過(guò)點(diǎn)A作直線m∥x軸，點(diǎn)P在直線m上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P在⊙A上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為12，試猜想直線OP與⊙A的位置關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：過(guò)A作AD⊥OP，再由OB⊥BP，得到一對(duì)直角相等，再由一對(duì)公共角，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△APD與△OPB相似，根據(jù)相似得比例，將各自的值代入求出AD的長(zhǎng)，與半徑r=2比較大小，即可判斷出直線OP與圓A的位置關(guān)系．

解答：解：直線OP與⊙A相交．
理由：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OP于D，如圖所示：
可得∠ADP=90°，
又∵∠PBO=90°，
∴∠ADP=∠PBO，
又∵∠APD=∠OPB，
∴△PAD∽△POB，
又∵PA=PB-AB=12-4=8，OB=3，
在直角△OBP中，OB=3，BP=12，
根據(jù)勾股定理得：OP=

BO2+BP2

=

153

，
∴

PA

OP

=

AD

OB

，即

8

153

=

AD

3

，
解得：AD=

24 153

153

≈1.9＜2=r，
∴直線OP與⊙A相交．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系可以由d與r的大小來(lái)判斷（r表示圓的半徑，d表示圓心到直線的距離），當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離．