Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（4，3），⊙A的半徑為2，過點A作直線m∥x軸，點P在直線m上運動．當點P在⊙A上時，求點P的坐標．若點P的橫坐標為12，試猜想直線OP與⊙A的位置關系，并證明你的猜想．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,坐標與圖形性質

專題：

分析：過A作AD⊥OP，再由OB⊥BP，得到一對直角相等，再由一對公共角，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出△APD與△OPB相似，根據(jù)相似得比例，將各自的值代入求出AD的長，與半徑r=2比較大小，即可判斷出直線OP與圓A的位置關系．

解答：解：直線OP與⊙A相交．
理由：過點A作AD⊥OP于D，如圖所示：
可得∠ADP=90°，
又∵∠PBO=90°，
∴∠ADP=∠PBO，
又∵∠APD=∠OPB，
∴△PAD∽△POB，
又∵PA=PB-AB=12-4=8，OB=3，
在直角△OBP中，OB=3，BP=12，
根據(jù)勾股定理得：OP=

BO2+BP2

=

153

，
∴

PA

OP

=

AD

OB

，即

8

153

=

AD

3

，
解得：AD=

24 153

153

≈1.9＜2=r，
∴直線OP與⊙A相交．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：勾股定理，相似三角形的判定與性質，以及坐標與圖形性質，直線與圓的位置關系可以由d與r的大小來判斷（r表示圓的半徑，d表示圓心到直線的距離），當d＜r時，直線與圓相交；當d=r時，直線與圓相切；當d＞r時，直線與圓相離．