Question

如圖，以Rt△ABC的斜邊AB為一邊在△ABC同側(cè)作正方形ABDE，設(shè)正方形的中心為O，連接AO．若AC=2，CO=3

2

，則正方形ABDE的邊長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專題：壓軸題

分析：把△ACO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AC′O′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC′=AC，∠CAC′=90°，C′O′=CO，AO′=AO，然后判斷出△ACC′是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CC′，連接OB，然后求出點(diǎn)A、C、O、B四點(diǎn)共圓，求出∠BCO=∠OAB=45°，然后求出∠AC′O′=∠ACO=135°，判斷出點(diǎn)C、C′、O′三點(diǎn)共線，過點(diǎn)A作AF⊥CC′于F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AF=C′F=

1

2

CC′，再求出O′F，然后利用勾股定理列式求出AO′，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求解即可．

解答：解：如圖，把△ACO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AC′O′，
∴AC′=AC=2，∠CAC′=90°，C′O′=CO=3

2

，AO′=AO，
∴△ACC′是等腰直角三角形，
CC′=

2

AC=2

2

，
連接OB，
∵正方形的中心為O，
∴∠AOB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴點(diǎn)A、C、O、B四點(diǎn)共圓，
∴∠BCO=∠OAB=45°，
∴∠AC′O′=∠ACO=135°，
又∵∠ACC′+∠AC′O′=45°+135°=180°，
∴點(diǎn)C、C′、O′三點(diǎn)共線，
過點(diǎn)A作AF⊥CC′于F，則AF=C′F=

1

2

CC′=

2

，
∴O′F=O′C′+C′F=3

2

+

2

=4

2

，
在Rt△AFO′中，AO′=

AF2+O′F2

=

2 2+(4 2 )2

=

34

，
∴正方形ABDE的邊長(zhǎng)AB=

2

AO=

2

AO′=

2

×

34

=2

17

．
故答案為：2

17

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形和直角三角形．