Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與軸交于點(diǎn)、(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，，經(jīng)過點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象與軸正半軸交于點(diǎn)，且與拋物線的另一個交點(diǎn)為，的面積為5．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；

(2)拋物線上的動點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象下方，求面積的最大值，并求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)為軸上任意一點(diǎn)，在(2)的結(jié)論下，求的最小值．

Answer 1

【答案】(1)；；(2)的面積最大值是，此時點(diǎn)坐標(biāo)為；(3)的最小值是3.

【解析】

(1)先寫出平移后的拋物線解析式，再把點(diǎn)代入可求得的值，由的面積為5可求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求出橫坐標(biāo)，由、的坐標(biāo)可利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；

(2)作軸交于，如圖，利用三角形面積公式，由構(gòu)建關(guān)于E點(diǎn)橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；

(3)作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則，利用銳角三角函數(shù)的定義可得出，此時最小，求出最小值即可．

解：(1)將二次函數(shù)的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到的拋物線解析式為，

∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

代入拋物線的解析式得，，∴，

∴拋物線的解析式為，即．

令，解得，，∴，

∴，

∵的面積為5，∴，∴，

代入拋物線解析式得，，解得，，∴，

設(shè)直線的解析式為，

∴，解得：，

∴直線的解析式為．

(2)過點(diǎn)作軸交于，如圖，設(shè)，則，

∴，

∴，，

∴當(dāng)時，的面積有最大值，最大值是，此時點(diǎn)坐標(biāo)為．

(3)作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，

∵，，

∴，，∴，

∵，

∴，∴，

∵、關(guān)于軸對稱，∴，

∴，此時最小，

∵，，

∴，

∴．

∴的最小值是3．