【題目】如圖1,AB=5cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=4cm,點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由A向B運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),它們運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).
(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P速度相等,當(dāng)t=1,△ACP與△BPQ是否全等?請(qǐng)說明理由,并推導(dǎo)出此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系;
(2)如圖2,將圖1中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改為“∠CAB=∠DBA=α°”,其他條件不變,設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s,是否存在實(shí)數(shù)x,使得△ACP與△BPQ全等?若存在,求出相應(yīng)的x,t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ;(2)存在,x=1,t=1或t=2.5,x=
【解析】
(1)利用SAS證得△ACP≌△BPQ,得出∠ACP=∠BPQ,進(jìn)一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出結(jié)論即可;
(2)由△ACP與△BPQ全等,分兩種情況:①AC=BP,AP=BQ,②AC=BQ,AP=BP,建立方程組求得答案即可.
解:(1)∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P速度相等,
當(dāng)t=1時(shí),AP=BQ=1,BD=AC=4,
∵AB=5,
∴BP=51=4=AC,
又∵AC⊥AB,BD⊥AB,
∴∠A=∠B=90°,
在△ACP和△BPQ中,
AP=BQ,∠A=∠B,AC=BP,
∴△ACP≌△BPQ(SAS),
∴∠ACP=∠BPQ,
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°,
∴∠CPQ=90°,即PC⊥PQ;
(2)存在,
①若△ACP≌△BPQ,
則AC=BP,AP=BQ,
∵AP=t,BQ=xt,則BP=5-t,
∴4=5t,t=xt,
解得:t=1,x=1,
∴存在x=1,t=1,使得△ACP與△BPQ全等;
②若△ACP≌△BQP,
則AC=BQ,AP=BP,
∴t=5t,4=xt,
解得t=2.5,x=,
∴存在t=2.5,x=,使得△ACP與△BPQ全等;
綜上所述,存在x=1,t=1或t=2.5,x=,使得△ACP與△BPQ全等.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,有以下結(jié)論:①EM=FN;②CD=DN;③∠FAN=∠EAM;④△ACN≌△ABM.其中正確的結(jié)論有_____個(gè).
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【題目】將一副三角板按如圖①的位置擺放,將△DEF繞點(diǎn)A(F)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后,得到如圖②,測(cè)得CG=6 ,則AC長是( )
A.6+2
B.9
C.10
D.6+6
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【題目】如圖,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,點(diǎn)D,E分別在邊AB、AC上,且AD=AE,連接BE、CD,交于點(diǎn)F.
(1)求證:∠ABE=∠ACD;
(2)求證:過點(diǎn)A、F的直線垂直平分線段BC.
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【題目】如圖,在△中,∠ACB=90°,∠ABC與∠BAC的角平分線相交于點(diǎn)P,連接CP,過點(diǎn)P作DE⊥CP分別交AC、BC于點(diǎn)D、E,
(1)若∠BAC=40°,求∠APB與∠ADP度數(shù);
(2)探究:通過(1)的計(jì)算,小明猜測(cè)∠APB=∠ADP,請(qǐng)你說明小明猜測(cè)的正確性(要求寫出過程).
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【題目】下列四種說法:
①負(fù)數(shù)的立方根仍為負(fù)數(shù);
②1的平方根與立方根都是1;
③4的平方根的立方根是 ;
④互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的立方根仍為相反數(shù),
正確的有( )
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,將Rt△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△AB1C1的位置,使得點(diǎn)C、A、B1在同一條直線上,那么旋轉(zhuǎn)角最小為( )
A.115°
B.125°
C.120°
D.145°
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