Question

【題目】如圖，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=c分別交y軸的正半軸于點(diǎn)C和第一象限的點(diǎn)P，連接PB，得△PCB≌△BOA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若拋物線與x軸正半軸交點(diǎn)為點(diǎn)F，設(shè)M是點(diǎn)C，F(xiàn)間拋物線上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），其橫坐標(biāo)為m．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)和拋物線的解析式；

（2）當(dāng)m為何值時(shí)，△MAB面積S取得最小值和最大值？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）求滿足∠MPO=∠POA的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4），拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4；（2）當(dāng)m=0時(shí)，S取最小值，最小值為；當(dāng)m=3時(shí)，S取最大值，最大值為5．（3）滿足∠MPO=∠POA的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，4）或（，）．

【解析】（1）代入y=c可求出點(diǎn)C、P的坐標(biāo)，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)M作ME∥y軸，交直線AB于點(diǎn)E，由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)可得出點(diǎn)M、E的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出ME的長(zhǎng)度，再利用三角形的面積公式可找出S=﹣（m﹣3）2+5，由m的取值范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值及最小值；

（3）分兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)M在線段OP上方時(shí)，由CP∥x軸利用平行線的性質(zhì)可得出：當(dāng)點(diǎn)C、M重合時(shí)，∠MPO=∠POA，由此可找出點(diǎn)M的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)M在線段OP下方時(shí)，在x正半軸取點(diǎn)D，連接DP，使得DO=DP，此時(shí)∠DPO=∠POA，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（n，0），則DO=n，DP=，由DO=DP可求出n的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，由點(diǎn)P、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線PD的解析式，再聯(lián)立直線PD及拋物線的解析式成方程組，通過(guò)解方程組求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．綜上此題得解．

（1）當(dāng)y=c時(shí)，有c=﹣x2+bx+c，

解得：x1=0，x2=b，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，c），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（b，c），

∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），

∴OB=3，OA=1，BC=c﹣3，CP=b，

∵△PCB≌△BOA，

∴BC=OA，CP=OB，

∴b=3，c=4，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4），拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4；

（2）當(dāng)y=0時(shí)，有﹣x2+3x+4=0，

解得：x1=﹣1，x2=4，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，0），

過(guò)點(diǎn)M作ME∥y軸，交直線AB于點(diǎn)E，如圖1所示，

∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m（0≤m≤4），

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+3m+4），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，﹣3m+3），

∴ME=﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）=﹣m2+6m+1，

∴S=OAME=﹣m2+3m+=﹣（m﹣3）2+5，

∵﹣＜0，0≤m≤4，

∴當(dāng)m=0時(shí)，S取最小值，最小值為；當(dāng)m=3時(shí)，S取最大值，最大值為5；

（3）①當(dāng)點(diǎn)M在線段OP上方時(shí)，∵CP∥x軸，

∴當(dāng)點(diǎn)C、M重合時(shí)，∠MPO=∠POA，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，4）；

②當(dāng)點(diǎn)M在線段OP下方時(shí)，在x正半軸取點(diǎn)D，連接DP，使得DO=DP，此時(shí)∠DPO=∠POA，

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（n，0），則DO=n，DP=，

∴n2=（n﹣3）2+16，

解得：n=，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0），

設(shè)直線PD的解析式為y=kx+a（k≠0），

將P（3，4）、D（，0）代入y=kx+a，

，解得：，

∴直線PD的解析式為y=﹣x+，

聯(lián)立直線PD及拋物線的解析式成方程組，得：，

解得：，．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．

綜上所述：滿足∠MPO=∠POA的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，4）或（，）．