【題目】在△ABC中,∠BAC=45°,CD⊥AB,垂足為點D,M為線段DB上一動點(不包括端點),點N在直線AC左上方且∠NCM=135°,CN=CM,如圖①.
(1)求證:∠ACN=∠AMC;
(2)記△ANC得面積為5,記△ABC得面積為5.求證:;
(3)延長線段AB到點P,使BP=BM,如圖②.探究線段AC與線段DB滿足什么數(shù)量關系時對于滿足條件的任意點M,AN=CP始終成立?(寫出探究過程)
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)當AC=2BD時,對于滿足條件的任意點N,AN=CP始終成立,證明見解析.
【解析】
(1)由三角形的內角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°-∠ACM;
(2)過點N作NE⊥AC于E,由“AAS”可證△NEC≌△CDM,可得NE=CD,由三角形面積公式可求解;
(3)過點N作NE⊥AC于E,由“SAS”可證△NEA≌△CDP,可得AN=CP.
(1)∵∠BAC=45°,
∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM.
∵∠NCM=135°,
∴∠ACN=135°﹣∠ACM,∴∠ACN=∠AMC;
(2)過點N作NE⊥AC于E,
∵∠CEN=∠CDM=90°,∠ACN=∠AMC,CM=CN,
∴△NEC≌△CDM(AAS),
∴NE=CD,CE=DM;
∵S1ACNE,S2ABCD,
∴;
(3)當AC=2BD時,對于滿足條件的任意點N,AN=CP始終成立,
理由如下:過點N作NE⊥AC于E,
由(2)可得NE=CD,CE=DM.
∵AC=2BD,BP=BM,CE=DM,
∴AC﹣CE=BD+BD﹣DM,
∴AE=BD+BP=DP.
∵NE=CD,∠NEA=∠CDP=90°,AE=DP,
∴△NEA≌△CDP(SAS),
∴AN=PC.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弧CD⊥AB,垂足為H,P為弧AD上一點,連接PA、PB,PB交CD于E.
(1)如圖(1)連接PC、CB,求證:∠BCP=∠PED;
(2)如圖(2)過點P作⊙O的切線交CD的延長線于點E,過點A向PF引垂線,垂足為G,求證:∠APG=∠F;
(3)如圖(3)在圖(2)的條件下,連接PH,若PH=PF,3PF=5PG,BE=2,求⊙O的直徑AB.
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【題目】如圖,O為正方形ABCD的對角線AC上一點,以O為圓心,OC的長為半徑的與AB相切于點M.
求證:AD與相切;
若,求圖中陰影部分面積.
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【題目】已知:已知二次函數(shù)的圖象與軸交于和兩點.交軸于點,點,是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點,一次函數(shù)的圖象過點,
(1)畫出圖象,并求二次函數(shù)的解析式.
(2)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于或等于二次函數(shù)值的的取值范圍.
(3)若直線與軸交點為,連接,,求三角形的面積.
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【題目】在Rt△POQ中,OP=OQ=4,M是PQ中點,把一三角尺的直角頂點放在點M處,以M為旋轉中心,旋轉三角尺,三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點A、B.求證:MA=MB;
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【題目】如圖,拋物線與x軸交A、B兩點(A點在B點左側),直線與拋物線交于A、C兩點,其中C點的橫坐標為2.
(1)求A、B兩點的坐標及直線AC的函數(shù)表達式;
(2)P是線段AC上的一個動點,過P點作y軸的平行線交拋物線于E點,求線段PE長度的最大值;
(3)點G是拋物線上的動點,在x軸上是否存在點F,使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出所有滿足條件的F點坐標;如果不存在,請說明理由。
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【題目】拋物線y=ax2+bx+c的頂點為D(–1,2),與x軸的一個交點A在點(–3,0)和(–2,0)之間,其部分圖象如下圖,則以下結論:①b2–4ac<0;②a+b+c<0;③c–a=2;④方程ax2+bx+c–2=0有兩個相等的實數(shù)根.其中正確結論的個數(shù)為( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖,直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點,拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=c分別交y軸的正半軸于點C和第一象限的點P,連接PB,得△PCB≌△BOA(O為坐標原點).若拋物線與x軸正半軸交點為點F,設M是點C,F(xiàn)間拋物線上的一點(包括端點),其橫坐標為m.
(1)直接寫出點P的坐標和拋物線的解析式;
(2)當m為何值時,△MAB面積S取得最小值和最大值?請說明理由;
(3)求滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標.
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