Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AC平分∠EAB．
（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）若AB=30，AE=24，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OC，由條件可得到∠OCA=∠EAC，可證明OC∥AE，可得到OC⊥DE，可證明DE是⊙O的切線；
（2）由條件可證明△AEC∽△ACB，可求得AC．

解答：（1）證明：如圖，連接OC，

∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
又∵AC平分∠EAB，
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠OCA=∠EAC，
∴OC∥AE，且AE⊥DC
∴∠E=∠DCO=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD為⊙O的切線；
（2）解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BCA=∠E=90°，且∠EAC=∠CAB，
∴△EAC∽△CAB，
∴

AE

AC

=

AC

AB

，即

24

AC

=

AC

30

，
解得AC=12

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的判定及相似三角形的判定和性質(zhì)，在證明切線時(shí)注意兩種解題的思路，當(dāng)有切點(diǎn)時(shí)，連接圓心和切點(diǎn)，證明垂直，當(dāng)沒(méi)有切點(diǎn)時(shí)，作垂直，證明距離等于半徑，在解決有關(guān)線段的長(zhǎng)度時(shí)，也可以利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等來(lái)求．