Question

如圖，直角梯形OABC的腰OC在y軸的正半軸上，點(diǎn)A（5n，0）在x軸的負(fù)半軸上，OA：AB：OC=5：5：3．點(diǎn)D是線段OC上一點(diǎn)，且OD=BD．
（1）若直線y=kx+m（k≠0）過B、D兩點(diǎn)，求k的值；
（2）在（1）的條件下，反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，
①求證：反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象與直線AB必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
②設(shè)反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象與直線AB的另一個(gè)交點(diǎn)為E，已知點(diǎn)P（p，-n-1），Q（q，-n-2）在線段AB上，當(dāng)點(diǎn)E落在點(diǎn)段PQ上時(shí)，求n的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)OA：OC的關(guān)系，可得B點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)OD=BD，可得D點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得k值；
（2）①根據(jù)待定系數(shù)法，可得反比例函數(shù)解析式，直線AB的解析式，根據(jù)代入消元法，可得關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根的判別式，可得答案；
②根據(jù)解方程組，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)E落在點(diǎn)段PQ上，可得關(guān)于n的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答：解：（1）∵A（5n，0），OA：OC=5：3，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，
∴C（0，-3n）．
∵BC∥OA，
∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-3n，
過點(diǎn)B做BG⊥OA于G點(diǎn)，
則BG=-3n，設(shè)OG為x，在Rt△ABG中，由勾股定理，得
（-5n-x）²+（-3n）²=（-5n）²，解得x=-n，x=-9n（不符合題意要舍去），
B（-n，-3n）．
設(shè)OD=t，點(diǎn)D是線段OC上一點(diǎn)，且OD=BD，
∴t²=（-3n-t）²+（-n）²解得t=-

5

3

n，
∴D（0，-

5

3

t）．
直線y=kx+m（k≠0）過B、D兩點(diǎn)，得

nk+b=-3n b=- 5 3 n

，解得k=-

4

3

；
（2）①由反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，得
m═n（-3n）=-3n²，
反比例函數(shù)y=-

3n2

x

，
設(shè)AB的解析式為y=kx+b，圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，得

5nk+b=0 nk+b=-3n

，解得

k= 3 4 b=- 15 4 n

，
AB的解析式為y=

3

4

x-

15

4

n，
由y=-

3n2

x

和y=

3

4

x-

15

4

n消去y，并整理得3x²-15nx+12n²=0，
∵△=（-15n）²-4×3×12n²=9n²＞0，
∴反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象與直線AB必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
②聯(lián)立y=-

3n2

x

和y=

3

4

x-

15

4

n，得

y=- 3n2 x y= 3 4 x- 15 4 n

，解得

x1=n y1=-3n

，

x2=4n y2=- 3 4 n

，
∴E（4n，-

3

4

n）．
當(dāng)點(diǎn)E過點(diǎn)P時(shí)，-n-1=-

3

4

n，解得n=-4；
當(dāng)點(diǎn)E過點(diǎn)Q時(shí)，-n-2=-

3

4

n，解得n=-8，
當(dāng)點(diǎn)E落在點(diǎn)段PQ上時(shí)，n的取值范圍是-8≤n≤-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，（1）利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用了代入消元法解二元一次方程組，一元二次方程的根的判別式；（3）利用了解方程組，點(diǎn)E經(jīng)過線段的端點(diǎn)得出不等式組．