【題目】如圖,在中,點O是邊AC上一個動點,過點O作直線//BC,分別交,外角的平分線于點E、F.
(1)猜想與證明,試猜想線段OE與OF的數(shù)量關系,并說明理由.
(2)連接AE,AF,問:當點O在邊AC上運動時到什么位置時,四邊形AECF是矩形?并說明理由.
(3)若AC邊上存在一點O,使四邊形AECF是正方形,猜想的形狀并證明你的結論.
【答案】(1)OE=OF,理由見解析.
(2)當點O在邊AC上運動到AC中點時,四邊形AECF是矩形;
理由見解析.
(3)△ABC是直角三角形;證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù)CE平分∠ACB,MN∥BC,找到相等的角,即∠OEC=∠ECB,再根據(jù)等邊對等角得OE=OC,同理OC=OF,可得EO=FO.
(2)利用矩形的判定解答,即有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形.
(3)利用已知條件及正方形的性質(zhì)問題可解.
(1)證明:∵CE是∠ACB的平分線,
∴∠ACE=∠BCE,
∵MN∥BC,
∴∠BCE=∠E,
∴∠ACE=∠E,
∴OE=OC,
同理可證OC=OF,
∴OE=OF;
(2)解:如圖
當點O在邊AC上運動到AC中點時,四邊形AECF是矩形.
理由是:當O為AC的中點時,AO=CO,
∵EO=FO,
∴四邊形AECF是平行四邊形,
∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACG,
∴∠ECF=∠ACB+∠ACG=(∠ACB+∠ACG)=90°,
∴平行四邊形AECF是矩形.
(3)△ABC是直角三角形
理由是:∵四邊形AECF是正方形,
∴AC⊥EN,故∠AOM=90°,
∵MN∥BC,
∴∠BCA=∠AOM,
∴∠BCA=90°,
∴△ABC是直角三角形.
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【題目】根據(jù)要求,解答下列問題.
(1)解方程組: .
(2)解下列方程組,只寫出最后結果即可:①;②.
(3)以上每個方程組的解中,x值與y值有怎樣的大小關系?
(4)觀察以上每個方程組的外形特征,請你構造一個具有此特征的方程組,并用(3)中的結論快速求出其解.
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【題目】如圖,P為正方形ABCD對角線AC上一動點,EF⊥AC且交AD于E,交CD的延長線于點G,連接CE和AG.
(1)求證:△ADG≌△CDE;
(2)當CE平分∠ACD時,求tan∠AGD.
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【題目】小楊一家三人隨旅游團去九寨溝旅游,小楊把旅途的費用支出情況制成了如圖所示的統(tǒng)計圖.
(1)哪一部分的費用占整個支出的?
(2)若他們共交給旅行社8600元,則在食宿上用去多少元?
(3)以上條件不變,這一家往返的路費共多少元?
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【題目】如圖1,P為Rt△ABC所在平面內(nèi)任意一點(不在直線AC上),∠ACB=90°,M為AB邊中點.操作:以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC,連結PM并延長到點E,使ME=PM,連結DE.
(1)請你利用圖2,選擇Rt△ABC內(nèi)的任意一點P按上述方法操作;
(2)經(jīng)歷(1)之后,觀察兩圖形,猜想線段DE和線段BC之間有怎樣的數(shù)量和位置關系?請選擇其中的一個圖形證明你的猜想;
(3)觀察兩圖,你還可得出AC和DE相關的什么結論?請說明理由.
(4)若以A為坐標原點,建立平面直角坐標系,其中A、C、D的坐標分別為(0,0),(5,3),(4,2),能否在平面內(nèi)找到一點M,使以A、C、D、M為點構造成平行四邊形,若不能,說明理由,若能,請直接寫出點M的坐標.
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【題目】如圖所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm,動點P從點A出發(fā)沿AD方向向點D以1cm/s的速度運動,動點Q從點C開始沿著CB方向向點B以3cm/s的速度運動.點P、Q分別從點A和點C同時出發(fā),當其中一點到達端點時,另一點隨之停止運動.
(1)經(jīng)過多長時間,四邊形PQCD是平行四邊形?
(2)經(jīng)過多長時間,四邊形PQBA是矩形?
(3)經(jīng)過多長時間,當PQ不平行于CD時,有PQ=CD.
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【題目】如圖:已知A(0,-2),B(-2,1),C(3,2)
(1)求線段AB、BC、AC的長;
(2)把A、B、C三點的橫坐標、縱坐標都乘以2,得到A′、B′、C′的坐標,求A′B′、B′C′、A′C′的長;
(3)以上六條線段成比例嗎?
(4)△ABC與△A′B′C′的形狀相同嗎?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,AB是⊙O的直徑,BC是弦,∠B=30°,延長BA到D,使∠BDC=30°.
(1)求證:DC是⊙O的切線;
(2)若AB=2,求DC的長.
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