Question

如圖，在△ABC中，∠B=30°，AB=AC=2

3

，圓A的半徑1，點O在BC邊上運動（與點B，C不重合），設(shè)BO=x，△AOC的面積是y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）以點O為圓心，OB的長為半徑作圓，求當⊙O與⊙A相切時，△AOC的面積．

Answer 1

考點：相切兩圓的性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；首先求出AD、BD的長度，即可解決問題．
（2）當⊙O與⊙A相切時，運用勾股定理求出BO的值，即可解決問題．

解答：解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D；
∵AB=AC=2

3

，
∴BD=CD=

3

；
∵∠B=30°，
∴AD=

3

，BD=CD=3．
（1）∵BO=x，
∴CO=6-x，
∴y=

1

2

（6-x）×

3

=-

3

2

x+3

3

，
自變量x的取值范圍是0＜x＜6．
（2）當⊙O與⊙A相切時，
AO=x+1，DO=3-x；由勾股定理得：
(x+1)2=(3-x)2+(

3

)2，
解得：x=

11

8

，
∴CO=6-

11

8

=

37

8

，
此時△AOC的面積=

1

2

×

37

8

×

3

=

37 3

16

．

點評：該題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)及其應用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．