Question

直線y=kx+4（k≠0）與y=-2x+1交于點B，若S_△ABC=

3

2

．
（1）求△ABC的周長．
（2）若點P在直線AE上，△PAC是等腰直角三角形，求P點坐標．

Answer 1

考點：兩條直線相交或平行問題

專題：計算題

分析：（1）先利用y軸上點的坐標特征求出直線y=kx+4（k≠0）與y軸的交點A的坐標為（0，4），直線y=-2x+1與y軸的交點C的坐標為（0，1），則AC=4-1=3，再根據(jù)三角形面積公式得到

1

2

AC•|x_B|=

3

2

，解方程得到B的橫坐標為-1，利用y=-2x+1可確定B（-1，3），然后利用兩點間的距離公式計算出AB=

2

，BC=

5

，再求△ABC的周長；
（2）先把B（-1，3）的坐標代入y=kx+4求出k得到直線AE的解析式為y=x+4，則E（-4，0），可判斷△AOE為等腰直角三角形，所以∠EAC=45°，作過C作CP₁⊥AC交AE于P₁，如圖，則△ACP₁為等腰直角三角形，利用點P₁的縱坐標為1，點P₁在直線y=x+4上可確定P₁（-3，1）；作過C作CP₂⊥AE于P₂，如圖，則△ACP₂為等腰直角三角形，點P₂為AP₁的中點，利用線段中點坐標公式易得P₂（-

3

2

，

5

2

）．

解答：解：（1）∵直線y=kx+4（k≠0）與y軸的交點A（0，4），直線y=-2x+1與y軸的交點C（0，1），
∴AC=4-1=3，
∵S_△ABC=

1

2

AC•|x_B|=

3

2

，
∴|x_B|=1，
∴B的橫坐標為-1，
把x=-1代入y=-2x+1得y=-2×（-1）+1=3，
∴B（-1，3），
∴AB=

(0+1)2+(4-3)2

=

2

，BC=

(0+1)2+(1-3)2

=

5

，
∴△ABC的周長為3+

2

+

5

；
（2）把B（-1，3）的坐標代入y=kx+4得，3=-k+4，解得，k=1，
∴直線AE的解析式為y=x+4，
當y=0時，x+4=0，解得x=-4，則E（-4，0），
∴OA=OE，
∴△AOE為等腰直角三角形，
∴∠EAC=45°，
作過C作CP₁⊥AC交AE于P₁，如圖，則△ACP₁為等腰直角三角形，點P₁的縱坐標為1，
把y=1代入y=x+4得x+4=1，解得x=-3，
∴P₁（-3，1），
作過C作CP₂⊥AE于P₂，如圖，則△ACP₂為等腰直角三角形，點P₂為AP₁的中點，
∴P₂（-

3

2

，

5

2

）．
綜合所述，P點坐標為（-3，1）、（-

3

2

，

5

2

）．

點評：本題考查了兩直線相交或平行問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．