Question

直線y=kx+4（k≠0）與y=-2x+1交于點(diǎn)B，若S_△ABC=

3

2

．
（1）求△ABC的周長．
（2）若點(diǎn)P在直線AE上，△PAC是等腰直角三角形，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：兩條直線相交或平行問題

專題：計(jì)算題

分析：（1）先利用y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出直線y=kx+4（k≠0）與y軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），直線y=-2x+1與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），則AC=4-1=3，再根據(jù)三角形面積公式得到

1

2

AC•|x_B|=

3

2

，解方程得到B的橫坐標(biāo)為-1，利用y=-2x+1可確定B（-1，3），然后利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出AB=

2

，BC=

5

，再求△ABC的周長；
（2）先把B（-1，3）的坐標(biāo)代入y=kx+4求出k得到直線AE的解析式為y=x+4，則E（-4，0），可判斷△AOE為等腰直角三角形，所以∠EAC=45°，作過C作CP₁⊥AC交AE于P₁，如圖，則△ACP₁為等腰直角三角形，利用點(diǎn)P₁的縱坐標(biāo)為1，點(diǎn)P₁在直線y=x+4上可確定P₁（-3，1）；作過C作CP₂⊥AE于P₂，如圖，則△ACP₂為等腰直角三角形，點(diǎn)P₂為AP₁的中點(diǎn)，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式易得P₂（-

3

2

，

5

2

）．

解答：解：（1）∵直線y=kx+4（k≠0）與y軸的交點(diǎn)A（0，4），直線y=-2x+1與y軸的交點(diǎn)C（0，1），
∴AC=4-1=3，
∵S_△ABC=

1

2

AC•|x_B|=

3

2

，
∴|x_B|=1，
∴B的橫坐標(biāo)為-1，
把x=-1代入y=-2x+1得y=-2×（-1）+1=3，
∴B（-1，3），
∴AB=

(0+1)2+(4-3)2

=

2

，BC=

(0+1)2+(1-3)2

=

5

，
∴△ABC的周長為3+

2

+

5

；
（2）把B（-1，3）的坐標(biāo)代入y=kx+4得，3=-k+4，解得，k=1，
∴直線AE的解析式為y=x+4，
當(dāng)y=0時(shí)，x+4=0，解得x=-4，則E（-4，0），
∴OA=OE，
∴△AOE為等腰直角三角形，
∴∠EAC=45°，
作過C作CP₁⊥AC交AE于P₁，如圖，則△ACP₁為等腰直角三角形，點(diǎn)P₁的縱坐標(biāo)為1，
把y=1代入y=x+4得x+4=1，解得x=-3，
∴P₁（-3，1），
作過C作CP₂⊥AE于P₂，如圖，則△ACP₂為等腰直角三角形，點(diǎn)P₂為AP₁的中點(diǎn)，
∴P₂（-

3

2

，

5

2

）．
綜合所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，1）、（-

3

2

，

5

2

）．

點(diǎn)評：本題考查了兩直線相交或平行問題：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．