Question

【題目】如圖，將小正方形AEFG繞大正方形ABCD的頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α（其中0°≤α≤90°），連接BG、DE相交于點(diǎn)O，再連接AO、BE、DG．王凱同學(xué)在探究該圖形的變化時(shí)，提出了四個(gè)結(jié)論：

①BG＝DE；②BG⊥DE；③∠DOA＝∠GOA；④S△ADG＝S△ABE，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（　　）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

Answer 1

【答案】D

【解析】

由“SAS”可證△DAE≌△BAG，可得BG＝DE，即可判斷①；設(shè)點(diǎn)DE與AB交于點(diǎn)P， 由∠ADE＝∠ABG，∠DPA＝∠BPO，即可判斷②；過點(diǎn)A作AM⊥DE，AN⊥BG，易證DE×AM＝×BG×AN，從而得AM＝AN，進(jìn)而即可判斷③；過點(diǎn)G作GH⊥AD，過點(diǎn)E作EQ⊥AD，由“AAS”可證△AEQ≌△GAH，可得AQ＝GH，可得S△ADG＝S△ABE，即可判斷④．

∵∠DAB＝∠EAG＝90°，

∴∠DAE＝∠BAG，

又∵AD＝AB，AG＝AE，

∴△DAE≌△BAG（SAS），

∴BG＝DE，∠ADE＝∠ABG，

故①符合題意，

如圖1，設(shè)點(diǎn)DE與AB交于點(diǎn)P，

∵∠ADE＝∠ABG，∠DPA＝∠BPO，

∴∠DAP＝∠BOP＝90°，

∴BG⊥DE，

故②符合題意，

如圖1，過點(diǎn)A作AM⊥DE，AN⊥BG，

∵△DAE≌△BAG，

∴S△DAE＝S△BAG，

∴DE×AM＝×BG×AN，

又∵DE＝BG，

∴AM＝AN，且AM⊥DE，AN⊥BG，

∴AO平分∠DOG，

∴∠AOD＝∠AOG，

故③符合題意，

如圖2，過點(diǎn)G作GH⊥AD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作EQ⊥AD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，

∴∠EAQ+∠AEQ＝90°，∠EAQ+∠GAQ＝90°，

∴∠AEQ＝∠GAQ，

又∵AE＝AG，∠EQA＝∠AHG＝90°，

∴△AEQ≌△GAH（AAS）

∴AQ＝GH，

∴AD×GH＝AB×AQ，

∴S△ADG＝S△ABE，

故④符合題意，

故選：D．