Question

【題目】如圖，矩形紙片ABCD，將△AMP和△BPQ分別沿PM和PQ折疊（AP＞AM），點A和點B都與點E重合；再將△CQD沿DQ折疊，點C落在線段EQ上點F處．

（1）判斷△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪幾對相似三角形？（不需說明理由）

（2）如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD；（2）AB=6.

【解析】

根據(jù)題意得出三對相似三角形；設(shè)AP=x，有折疊關(guān)系可得：BP=AP=EP=x，AB=DC=2x，AM=1，根據(jù)△AMP∽△BPQ得：即，根據(jù)由△AMP∽△CQD得：即CQ=2，從而得出AD=BC=BQ+CQ=+2，MD=AD－AM=+2－1=+1，根據(jù)Rt△FDM中∠DMF的正弦值得出x的值，從而求出AB的值.

（1）有三對相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD

（2）設(shè)AP=x，有折疊關(guān)系可得：BP=AP=EP=x AB=DC=2x AM=1

由△AMP∽△BPQ得：即

由△AMP∽△CQD得：即CQ=2

AD=BC=BQ+CQ=+2 MD=AD－AM=+2－1=+1

又∵在Rt△FDM中，sin∠DMF=DF=DC=2x

∴

解得：x=3或x=（不合題意，舍去）

∴AB=2x=6.