Question

已知，如圖，AB為⊙O的直徑，弦DC延長線上有一點P，∠PAC=∠PDA．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若AD=6，tan∠ACD=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：計算題

分析：（1）連接BC，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠B=∠PDA，加上∠PAC=∠PDA，則∠PAC=∠ABC，再利用圓周角定理由AB是直徑得到∠ACB=90°，則∠ABC+∠BAC=90°，所以∠PAC+∠BAC=90°，即∠PAB=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到PA是⊙O的切線；
（2）連接BD，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，∠ABD=∠ACD，則tan∠ABD=tan∠ACD=3，在Rt△ABD中，利用正切的定義得tan∠ABD=

AD

BD

=3，則可計算出BD=2，然后利用勾股定理計算出AB，從而得到圓的半徑．

解答：證明：（1）連接BC，如圖，
∵∠B=∠PDA，
而∠PAC=∠PDA，
∴∠PAC=∠ABC
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°
∴∠PAC+∠BAC=90°，
即∠PAB=90°，
∴OA⊥AP，
∴PA是⊙O的切線；
（2）解：連接BD，如圖，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=∠ACD，
∴tan∠ABD=tan∠ACD=3，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=

AD

BD

=3，
而AD=6，
∴BD=2，
∴AB=

AD2+BD2

=2

10

，
∴⊙O的半徑為

10

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理和勾股定理．