Question

已知：如圖，分別以直角三角形ABC的兩直角邊AB、BC為一邊，向外作等邊三角形ABE和等邊三角形BCF，連接EF、EC，延長EB交FC于M．
（1）求∠FBE的度數(shù)；
（2）求證：EF=EC；
（3）求證：EM⊥CF．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠CBF=∠ABE=60°，然后根據(jù)周角的定義可計(jì)算出∠FBE=360°-∠CBF-∠CBA-∠ABE=150°；
（2）由于∠CBE=∠CBA+∠ABE=60°+90°=150°，結(jié)合（1）的結(jié)論得到∠FBE=∠CBE，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BF=BC，BE=BA，然后根據(jù)“SAS”可判定△BFE≌△BCE，則EF=EC；
（3）由△BFE≌△BCE，則EF=EC，∠FEB=∠CEB，于是BE平分等腰三角形EFC的頂角，根據(jù)等腰三角形的三線合一即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：∵△ABE和△BCF都是等邊三角形，
∴∠CBF=∠ABE=60°，
而∠CBA=90°，
∴∠FBE=360°-∠CBF-∠CBA-∠ABE=150°；

（2）證明：∵∠CBE=∠CBA+∠ABE=60°+90°=150°，
∴∠FBE=∠CBE，
∵△ABE和△BCF都是等邊三角形，
∴BF=BC，BE=BA，
∵在△BFE和△BCE中

BF=BC ∠FBE=∠CBE BE=BA

，
∴△BFE≌△BCE（SAS），
∴EF=EC；

（3）證明：∵△BFE≌△BCE，
∴EF=EC，∠FEB=∠CEB，
∴BE平分等腰三角形EFC的頂角，
∴EB⊥CF，
即EM⊥CF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：有兩組邊對應(yīng)相等，且它們所夾的角也相等，那么這兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．