Question

17．如圖，平面直角坐標系xOy中，點C（3，0），函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過?OABC的頂點A（m，n）和邊BC的中點D．
（1）求m的值；
（2）若△OAD的面積等于6，求k的值；
（3）若P為函數(shù)y═$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的圖象上一個動點，過點P作直線l⊥x軸于點M，直線l與x軸上方的?OABC的一邊交于點N，設點P的橫坐標為t，當$\frac{PN}{PM}=\frac{1}{4}$時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)確定出B的坐標從而確定出D的坐標，而點A，D在反比例函數(shù)圖象上，建立方程求出m，
（2）根據(jù)三角形OAD的面積是平行四邊形OABC面積的一半，確定出n即可；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和雙曲線的性質(zhì)，確定出PM，ON即可．

解答 解：（1）∵點C（3，0），?OABC的頂點A（m，n），
∴B（m+3，n），
∴D（$\frac{m}{2}$+3，$\frac{n}{2}$），
∵函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過?OABC的頂點A（m，n）和邊BC的中點D，
∴mn=k，$\frac{n}{2}（\frac{m}{2}+3）=k$，
∴m=2，
（2）∵點D是平行四邊形BC中點，
∴S_{平行四邊形OABC}=2S_△OAD=12，
∵S_{平行四邊形OABC}=3×n=12，
∴n=4，
由（1）知，m=2，
∴k=mn=8，
（3）①如圖1，點N在OA上，

由（1）知，m=2，
∴A（2，n）．
即0＜t＜2
直線OA的解析式為y=$\frac{n}{2}$x，
設點P的橫坐標為t，
∴P（t，$\frac{2n}{t}$），
∵過點P作直線l⊥x軸于點M．
∴N（t，$\frac{n}{2}$t），M（t，0），
∴PN=$\frac{2n}{t}$-$\frac{n}{2}$t，PM=$\frac{2n}{t}$，
∵$\frac{PN}{PM}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{2n}{t}$=4（$\frac{2n}{t}$-$\frac{n}{2}$t），
∴t=$\sqrt{3}$或t=-$\sqrt{3}$（舍），
②如圖2，

當點N在AB上時，
由（1）知，B（5，n），
∴2≤t≤3
由題意知，P（t，$\frac{2n}{t}$）．N（t，n），M（t，0），
∵$\frac{PN}{PM}=\frac{1}{4}$，
∴4（n-$\frac{2n}{t}$）=$\frac{2n}{t}$，
∴t=$\frac{5}{2}$，
③如圖3，4，


當點N在BC上時，（3＜t≤5）
∵B（5，n），C（3，0），
∴直線BC解析式為y=$\frac{n}{2}$x-$\frac{3n}{2}$，
∴P（t，$\frac{2n}{t}$），N（t，$\frac{n}{2}$t-$\frac{3n}{2}$），M（t，0），
∵$\frac{PN}{PM}=\frac{1}{4}$，
∴4|$\frac{n}{2}$t-$\frac{3n}{2}$-$\frac{2n}{t}$|=$\frac{2n}{t}$，
∴t=$\frac{3+\sqrt{29}}{2}$或t=$\frac{3-\sqrt{29}}{2}$（舍）或t=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$或t=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$（舍）
∴t的值為$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}$，$\frac{3+\sqrt{29}}{2}$或$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$．

點評 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積，平行四邊形的面積，平行四邊形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出m，n的值．