Question

如圖，已知邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，在BC邊上有一動(dòng)點(diǎn)E，連接AE，作EF⊥AE，交CD邊于點(diǎn)F．
（1）CF的長(zhǎng)可能等于

3

4

嗎？
（2）點(diǎn)E在什么位置時(shí)，CF的長(zhǎng)為

3

16

？

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

分析：（1）根據(jù)正方形的內(nèi)角為90°，以及同角的余角相等得出三角形的兩個(gè)角相等得到三角形相似，得出比例關(guān)系，代入數(shù)值計(jì)算即可．
（2）代入y=

3

16

，求得x的值即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠C，∠BAE+∠BEA=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠BEA+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF．
∴

AB

CE

=

BE

CF

，
設(shè)BE=x，CF=y，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，
則CE=1-x，
∴

1

1-x

=

x

y

，
∴y=-x²+x，
當(dāng)CF的長(zhǎng)等于

3

4

時(shí)，

3

4

=-x²+x，
整理得：x²-x+

3

4

=0，
∵△=（-1）²-4×1×

3

4

＜0，
∴CF的長(zhǎng)不可能等于

3

4

；

（2）當(dāng)CF的長(zhǎng)為

3

16

時(shí)，

3

16

=-x²+x，
解得：x=

1

4

或x=

3

4

，
故AE=

1

4

或

3

4

時(shí)，CF的長(zhǎng)為

3

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形得出二次函數(shù)關(guān)系式，難度不大．