Question

如圖，以△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O與斜邊AC交于點D，E是BC邊的中點．若AD、AB的長是方程x²-10x+24=0的兩個根，則DE的長為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,圓周角定理

專題：

分析：首先連接BD，由AB為直徑，易證得△ABC∽△ADB，又由AD、AB的長是方程x²-10x+24=0的兩個根，即可求得AD與AB的長，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得AC的長，然后由勾股定理求得BC的長，又由E是BC邊的中點，即可求得DE的長．

解答：解：連接BD，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=∠BDC=∠ABC=90°，
∵∠A是公共角，
∴△ABC∽△ADB，
∴

AB

AD

=

AC

AB

，
∵AD、AB的長是方程x²-10x+24=0的個根，AB為圓的直徑，
∴AD=4，AB=6，
∴AC=

AB2

AD

=

62

4

=9，
∴BC=

AC2-AB2

=3

5

，
∵E是BC邊的中點，
∴DE=

1

2

BC=

3

2

5

．
故答案為：

3

2

5

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、一元二次方程的解法以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．