Question

如圖，正方形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∠ACD的平分線交BD于F，交AD于E．
（1）求證：BF=BC；
（2）求證：AE=2OF．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角線可得∠ACB=∠ACD=∠BCD=45°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠ACF=22.5°，然后求出∠BCF=67.5°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BFC=67.5°，從而得到∠BCF=∠BFC，再根據(jù)等角對(duì)等邊證明即可；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OH∥BC交CF于H，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠OHF=∠BCF，然后求出OF=OH，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得AE=2OH，從而得證．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=45°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACF=22.5°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+22.5°=67.5°，
在△BCF中，∠BFC=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠BCF=∠BFC，
∴BF=BC；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH∥BC交CF于H，
則∠OHF=∠BCF，
∵∠BCF=∠BFC，
∴∠BFC=∠OHF，
∴OF=OH，
∵點(diǎn)O為正方形對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，
∴OA=OC，
∴OH是△ACE的中位線，
∴AE=2OH，
∴AE=2OF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記各性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．