【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C是⊙O上一點,AD與過點C的切線垂直,垂足為點D,直線DC與AB的延長線相交于點P,弦CE平分∠ACB,交AB點F,連接BE.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)求證:PC=PF;
(3)若tan∠ABC=,AB=14,求線段PC的長.
【答案】(1)(2)證明見解析;(3)24.
【解析】
(1)由PD切⊙O于點C,AD與過點C的切線垂直,易證得OC∥AD,繼而證得AC平分∠DAB;
(2)由條件可得∠CAO=∠PCB,結(jié)合條件可得∠PCF=∠PFC,即可證得PC=PF;
(3)易證△PAC∽△PCB,由相似三角形的性質(zhì)可得到 ,又因為tan∠ABC= ,所以可得=,進而可得到=,設(shè)PC=4k,PB=3k,則在Rt△POC中,利用勾股定理可得PC2+OC2=OP2,進而可建立關(guān)于k的方程,解方程求出k的值即可求出PC的長.
(1)證明:∵PD切⊙O于點C,
∴OC⊥PD,
又∵AD⊥PD,
∴OC∥AD,
∴∠ACO=∠DAC.
∵OC=OA,
∴∠ACO=∠CAO,
∴∠DAC=∠CAO,
即AC平分∠DAB;
(2)證明:∵AD⊥PD,
∴∠DAC+∠ACD=90°.
又∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°.
∴∠PCB+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠PCB.
又∵∠DAC=∠CAO,
∴∠CAO=∠PCB.
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACF=∠BCF,
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF,
∴∠PFC=∠PCF,
∴PC=PF;
(3)解:∵∠PAC=∠PCB,∠P=∠P,
∴△PAC∽△PCB,
∴.
又∵tan∠ABC=,
∴,
∴,
設(shè)PC=4k,PB=3k,則在Rt△POC中,PO=3k+7,OC=7,
∵PC2+OC2=OP2,
∴(4k)2+72=(3k+7)2,
∴k=6 (k=0不合題意,舍去).
∴PC=4k=4×6=24.
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【題目】李航想利用太陽光測量樓高.他帶著皮尺來到一棟樓下,發(fā)現(xiàn)對面墻上有這棟樓的影子,針對這種情況,他設(shè)計了一種測量方案,具體測量情況如下:如示意圖,李航邊移動邊觀察,發(fā)現(xiàn)站到點E處時,可以使自己落在墻上的影子與這棟樓落在墻上的影子重疊,且高度恰好相同.此時,測得李航落在墻上的影子高度CD=1.2m,CE=0.6m,CA=30m(點A、E、C在同一直線上).已知李航的身高EF是1.6m,請你幫李航求出樓高AB.
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【題目】如圖,拋物線經(jīng)過點(1,0),對稱軸為.則下列結(jié)論:①;② ;③; ④.其中所有正確的結(jié)論是( )
A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④
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【題目】某超市預(yù)測某飲料有發(fā)展前途,用1600元購進一批飲料,面市后果然供不應(yīng)求,又用6000元購進這批飲料,第二批飲料的數(shù)量是第一批的3倍,但單價比第一批貴2元.
(1)第一批飲料進貨單價多少元?
(2)若二次購進飲料按同一價格銷售,兩批全部售完后,獲利不少于1200元,那么銷售單價至少為多少元?
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【題目】已知函數(shù)y=|x2﹣x﹣2|,直線y=kx+4恰好與y=|x2﹣x﹣2|的圖象只有三個交點,則k的值為_____.
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【題目】如圖所示的平面直角坐標系中,直線m上各點的橫坐標都為1(記作直線x=1),A,B,C三點的坐標分別為A(﹣2,3),B(﹣3,0),C(﹣1,2).
(1)畫出△ABC關(guān)于直線x=1對稱的△A1B1C1并寫出A1,B1,C1的坐標.
(2)若△ABC內(nèi)部有一點H(﹣2,b),求點H關(guān)于直線x=a對稱的點H1的坐標.
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【題目】如圖,在梯形中,,若,,,分別是梯形各邊、、、的中點.
求證:四邊形平行四邊形;
當梯形滿足什么條件時,四邊形是菱形;
在的條件下,梯形滿足什么條件時,四邊形是正方形.
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【題目】小明從家騎自行車出發(fā),沿一條直路到相距2400m的郵局辦事,小明出發(fā)的同時,他的爸爸以96m/min速度從郵局同一條道路步行回家,小明在郵局停留2min后沿原路以原速返回,設(shè)他們出發(fā)后經(jīng)過t min時,小明與家之間的距離為s1m,小明爸爸與家之間的距離為s2 m,圖中折線OABD、線段EF分別表示s1、s2與t之間的函數(shù)關(guān)系的圖象。
(1)求s2與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)小明從家出發(fā),經(jīng)過多長時間在返回途中追上爸爸?這時他們距離家還有多遠?
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