Question

已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
（1）證明四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定,線段垂直平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）先證得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，從而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，因為BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可證得．
（2）先證得平行四邊形是菱形，然后根據(jù)勾股定理即可求得．

解答：（1）證明：∵BD垂直平分AC，
∴AB=BC，AD=DC，
在△ADB與△CDB中，

AB=BC AD=DC DB=DB

，
∴△ADB≌△CDB（SSS）
∴∠BCD=∠BAD，
∵∠BCD=∠ADF，
∴∠BAD=∠ADF，
∴AB∥FD，
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，

（2）解：∵四邊形ABDF是平行四邊形，AF=DF=5，
∴?ABDF是菱形，
∴AB=BD=5，
∵AD=6，
設(shè)BE=x，則DE=5-x，
∴AB²-BE²=AD²-DE²，
即5²-x²=6²-（5-x）²
解得：x=

7

5

，
∴AE=

AB2-BE2

=

24

5

，
∴AC=2AE=

48

5

．

點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用．