Question

如圖1，AB為半圓的直徑，O為圓心，C為圓弧上一點，AD垂直于過C點的切線，垂足為D，AB的延長線交直線CD于點E．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若AB=4，B為OE的中點，CF⊥AB，垂足為點F，求CF的長；
（3）如圖2，連接OD交AC于點G，若

CG

GA

=

3

4

，求sin∠E的值．

Answer 1

考點：圓的綜合題,平行線的性質(zhì),含30度角的直角三角形,切線的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義

專題：幾何綜合題

分析：（1）連結(jié)OC，如圖1，根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥DE，而AD⊥DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得OC∥AD，所以∠2=∠3，加上∠1=∠3，則∠1=∠2，所以AC平分∠DAB；
（2）如圖1，由B為OE的中點，AB為直徑得到OB=BE=2，OC=2，在Rt△OCE中，由于OE=2OC，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得∠OEC=30°，則∠COE=60°，由CF⊥AB得∠OFC=90°，所以∠OCF=30°，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OF=

1

2

OC=1，CF=

3

OF=

3

；
（3）連結(jié)OC，如圖2，先證明△OCG∽△DAG，利用相似的性質(zhì)得

OC

AD

=

CG

AG

=

3

4

，再證明△ECO∽△EDA，利用相似比得到

EO

EA

=

OC

AD

=

3

4

，設(shè)⊙O的半徑為R，OE=x，代入求得OE=3R；最后在Rt△OCE中，根據(jù)正弦的定義求解．

解答：（1）證明：連結(jié)OC，如圖1，
∵DE與⊙O切于點C，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴OC∥AD，
∴∠2=∠3，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
即AC平分∠DAB；

（2）解：如圖1，
∵直徑AB=4，B為OE的中點，
∴OB=BE=2，OC=2，
在Rt△OCE中，OE=2OC，
∴∠OEC=30°，
∴∠COE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠OFC=90°，
∴∠OCF=30°，
∴OF=

1

2

OC=1，
CF=

3

OF=

3

；

（3）解：連結(jié)OC，如圖2，
∵OC∥AD，
∴△OCG∽△DAG，
∴

OC

DA

=

CG

AG

=

3

4

，
∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EDA，
∴

EO

EA

=

OC

AD

=

3

4

，
設(shè)⊙O的半徑為R，OE=x，
∴

x

x+R

=

3

4

，
解得OE=3R，
在Rt△OCE中，sin∠E=

OC

OE

=

R

3R

=

1

3

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義；會根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和相似比進行幾何計算．