Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對角線相交于點M，已知，點E在射線上，，點P從點B出發(fā)，以每秒個單位的速度沿BD方向向終點D勻速運動，過點作交射線于點，以為鄰邊構造平行四邊形，設點的運動時間為；

（1）；

（2）求點落在上時的值；

（3）求平行四邊形與重疊部分面積S與之間的函數(shù)關系式；

（4）連接平行四邊形的對角線，設與交于點，連接，當與的邊平行（不重合）或垂直時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），S＝，S=；（4）t值為或或或2．

【解析】

（1）如圖，作DH⊥BE于H，解直角三角形求出BH，DH即可．

（2）如圖由PF∥CB，可得，構造方程即可解得．

（3）分三種情況，當0＜t≤時，重疊部分為平行四邊形PBQF；當＜t≤1時，重疊部分為五邊形PBQRT；當1＜t≤2時，重疊部分為四邊形PBCT,分別求解解決即可．

（4）分四種情況：當MN∥AB時，設CM交BF于T；當MN⊥BC時；當MN⊥AB時；當P點與D點重合時，MN∥BC，分別就出即可．

解：（1）如圖做DH⊥BE于H,

在Rt△BCD中，

∵DHC=，CD=5

tan∠DCH=

∴DH=4，CH=3

∴BH=BC+CH=5+3=8

∴tan∠DBE==

（2）如下圖

∵四邊形ABCD是菱形

∴AC⊥BD

∵BC=5，tan∠CBM=

∴CM=，BM=DM=

∵PF∥CB

∴

∴

解得t=．

（3）如下圖

當0＜t≤，重疊部分為平行四邊形PBQF，

S=PB×PQ=

如下圖，

當＜t≤1時，重疊部分是五邊形PBQRT，

S=

=．

如下圖

當1＜t≤2時，重疊部分是四邊形PBCT

S=

=

（4）如下圖，當MN∥AB時，設CM交BF于T

∵PN∥MT

∴

∴

∴MT=

∵MN∥AB

∴

∴

∴

∴t=；

如下圖

當MN⊥BC時，易知點F在DH上

∵PF∥BH，

∴

∴

解得t=；

如下圖

當MN⊥AB時，易知∠PNM=∠ABD

可得tan∠PNM=

∴

解得t=

當點P與點D重合時，MN∥BC，此時t=2

綜上所述，滿足條件的t值為或或或2．