Question

【題目】已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角頂點落在正方形的頂點D處，使三角板繞點D旋轉．

（1）當三角板旋轉到圖1的位置時，猜想CE與AF的數量關系，并加以證明；

（2）在（1）的條件下，若DE：AE：CE＝1：：3，求∠AED的度數；

（3）若BC＝4，點M是邊AB的中點，連結DM，DM與AC交于點O，當三角板的邊DF與邊DM重合時（如圖2），若OF＝，求DF和DN的長．

Answer 1

【答案】（1）CE＝AF，見解析；（2）∠AED＝135°；（3），.

【解析】

（1）由正方形和等腰直角三角形的性質判斷出△ADF≌△CDE即可；
（2）設DE=k，表示出AE，CE，EF，判斷出△AEF為直角三角形，即可求出∠AED；
（3）由AB∥CD，得出，求出DM，DO，再判斷出△DFN∽△DCO，得到，求出DN、DF即可．

解：（1）CE＝AF，

在正方形ABCD和等腰直角三角形CEF中，FD＝DE，CD＝AD，∠ADC＝∠EDF＝90°，

∴∠ADF＝∠CDE，

∴△ADF≌△CDE（SAS），

∴CE＝AF；

（2）設DE＝k，

∵DE：AE：CE＝1：：3

∴AE＝k，CE＝AF＝3k，

∴EF＝k，

∵AE2+EF2＝7k2+2k2＝9k2，AF2＝9k2，

即AE2+EF2＝AF2

∴△AEF為直角三角形，

∴∠AEF＝90°

∴∠AED＝∠AEF+DEF＝90°+45°＝135°；

（3）∵M是AB的中點，

∴MA＝AB＝AD，

∵AB∥CD，

∴△MAO∽△DCO，

∴，

在Rt△DAM中，AD＝4，AM＝2，

∴DM＝2，

∴DO＝，

∵OF＝，

∴DF＝，

∵∠DFN＝∠DCO＝45°，∠FDN＝∠CDO，

∴△DFN∽△DCO，

∴，即，

∴DN＝．