Question

如圖1，在梯形ABCD中，AB=BC=10cm，CD=6cm，∠C=∠D=90°．
（1）如圖2，動點P、Q同時以每秒1cm的速度從點B出發(fā)，點P沿BA，AD，DC運動到點C停止，點Q沿BC運動到點C停止，設(shè)P、Q同時從點B出發(fā)t秒時，△PBQ的面積為y₁（cm²），求y₁（cm²）關(guān)于t（秒）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如圖3，動點P以每秒1cm的速度從點B出發(fā)沿BA運動，點E在線段CD上隨之運動，且PC=PE．設(shè)點P從點B出發(fā)t秒時，四邊形PADE的面積為y₂（cm²），求y₂（cm²）關(guān)于t（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）過點A作AM⊥BC于M，如圖1，則AM=6，BM=8，
∴AD=MC=2．
過點P作PN⊥BC于N，則△PNB∽△AMB，
∴．
∴．
∴．
①當(dāng)點P在BA上運動時，
y₁=BQ•NP=t•t=t²；
②當(dāng)點P在AD上運動時，BQ=BC=10，PN=DC=6，
y₁=BQ•NP=×10×6=30；
③當(dāng)點P在DC上運動時，
y₁=BQ•CP=×10（10+2+6-t）=-5t+90．

（2）過點P作PF⊥CD于F，PH⊥BC于H，如圖2，
∵∠BCD=90°，
∴四邊形PHCF是矩形，
∴FC=EF=PH=t，
在Rt△BHP中，BH===t，
∴PF=BC-HB=10-．
∴y₂=S_梯形ABCD-S_△BPC-S_△PEC=（2+10）×6-×10×t-×t（10-t）
=t²-9t+36
當(dāng)CE=CD時，t=6，
∴t=5．
∴自變量t的取值范圍是0≤t≤5．
分析：（1）本題的關(guān)鍵是看三角形BPQ中，BQ邊上的高的值，分三種情況進行討論：
①當(dāng)P在BA上運動時，過P作PN⊥BC于N，過A作AM⊥BC于M，那么AM的值不難求出，可在相似三角形BPN和BAM中，表示出PN的長．
②當(dāng)P在AD上運動時，高PN=DC．
③當(dāng)P在DC上運動時，高PC=BA+AD+DC-t．
然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出y₁，t的函數(shù)關(guān)系式．
（2）由于四邊形APED不是規(guī)則的四邊形，因此其面積可用梯形ABCD的面積-三角形BPC的面積-三角形CPE的面積來求．關(guān)鍵還是求出三角形BPC和CPE的高，過P分別作PF⊥CD于F，PH⊥BC于H，PH=CF=CE，而PF的長可用BC-BH來得出，由此可得出關(guān)于y₂與t的函數(shù)關(guān)系式．
點評：本題主要考查了梯形的性質(zhì)，三角形的相似，圖形面積的求法及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識點．不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差．