【題目】如圖,已知矩形OABC中,OA=3,AB=4,雙曲線y= (k>0)與矩形兩邊AB、BC分別交于D、E,且BD=2AD

(1)求k的值和點E的坐標(biāo);
(2)點P是線段OC上的一個動點,是否存在點P,使∠APE=90°?若存在,求出此時點P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵AB=4,BD=2AD,

∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4,

∴AD=

又∵OA=3,

∴D( ,3),

∵點D在雙曲線y= 上,

∴k= ×3=4;

∵四邊形OABC為矩形,

∴AB=OC=4,

∴點E的橫坐標(biāo)為4.

把x=4代入y= 中,得y=1,

∴E(4,1);


(2)

解:(2)假設(shè)存在要求的點P坐標(biāo)為(m,0),OP=m,CP=4﹣m.

∵∠APE=90°,

∴∠APO+∠EPC=90°,

又∵∠APO+∠OAP=90°,

∴∠EPC=∠OAP,

又∵∠AOP=∠PCE=90°,

∴△AOP∽△PCE,

,

,

解得:m=1或m=3,

∴存在要求的點P,坐標(biāo)為(1,0)或(3,0).


【解析】(1)由矩形OABC中,AB=4,BD=2AD,可得3AD=4,即可求得AD的長,然后求得點D的坐標(biāo),即可求得k的值,繼而求得點E的坐標(biāo);(2)首先假設(shè)存在要求的點P坐標(biāo)為(m,0),OP=m,CP=4﹣m,由∠APE=90°,易證得△AOP∽△PCE,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例,求得m的值,繼而求得此時點P的坐標(biāo).

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【題目】如圖(1),是兩個全等的直角三角形(直角邊分別為a,b,斜邊為c).

(1)用這樣的兩個三角形構(gòu)造成如圖(2)的圖形(B,E,C三點在一條直線上),利用這個圖形,求證:a2+b2=c2

(2)當(dāng)a=1,b=2時,將其中一個直角三角形放入平面直角坐標(biāo)系中(如圖(3)),使直角頂點與原點重合,兩直角邊a,b分別與x軸、y軸重合.

請在坐標(biāo)軸上找一點C,使△ABC為等腰三角形.

寫出一個滿足條件的在x軸上的點的坐標(biāo):   ;

寫出一個滿足條件的在y軸上的點的坐標(biāo):   ,這樣的點有   個.

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【題目】正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,E是 的中點,連接BE、CE,則∠ABE=°.

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(1)類比研究
我們在學(xué)完平行四邊形后,知道可以從對稱性、邊、角和對角線四個角度對四邊形進行研究,完成表.

四邊形

對稱性

對角線

平行
四邊形

兩組對邊分別平行,兩組對邊分別相等.

兩組對角
分別相等.

對角線互相平分.

等腰
梯形

軸對稱圖形,過平行的一組對邊中點的直線是它的對稱軸.

一組對邊平行,另一組對邊相等.


(2)演繹論證
證明等腰梯形有關(guān)角和對角線的性質(zhì).
已知:在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AC、BD是對角線.
求證:
證明:
揭示關(guān)系
我們可以用圖來揭示三角形和一些特殊三角形之間的關(guān)系.

(3)請用類似的方法揭示四邊形、對角線相等的四邊形、平行四邊形、矩形以及等腰梯形之間的關(guān)系.

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1觀察圖形,寫出圖中所有與AED相等的角

2選擇圖中與AED相等的任意一個角,并加以證明

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②m是方程m2﹣12=0的解;
③m滿足不等式組
④m是12的算術(shù)平方根.
A.①②
B.①③
C.③
D.①②④

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