【題目】如圖1,在正方形ABCD內(nèi)作∠EAF=45°,AE交BC于點(diǎn)E,AF交CD于點(diǎn)F,連接EF,過點(diǎn)A作AH⊥EF,垂足為H.
(1)如圖2,將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG.
①求證:△AGE≌△AFE;
②若BE=2,DF=3,求AH的長(zhǎng).
(2)如圖3,連接BD交AE于點(diǎn)M,交AF于點(diǎn)N.請(qǐng)?zhí)骄坎⒉孪耄壕段BM,MN,ND之間有什么數(shù)量關(guān)系?并說明理由.
【答案】
(1)
解:①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:AF=AG,∠DAF=∠BAG.
∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠BAD=90°.
又∵∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°.
∴∠BAG+∠BAE=45°.
∴∠GAE=∠FAE.
在△GAE和△FAE中 ,
∴△GAE≌△FAE.
②∵△GAE≌△FAE,AB⊥GE,AH⊥EF,
∴AB=AH,GE=EF=5.
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,則EC=x﹣2,F(xiàn)C=x﹣3.
在Rt△EFC中,由勾股定理得:EF2=FC2+EC2,即(x﹣2)2+(x﹣3)2=25.
解得:x=6.
∴AB=6.
∴AH=6.
(2)
解:如圖所示:將△ABM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ADM′.
∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠ABD=∠ADB=45°.
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:∠ABM=∠ADM′=45°,BE=DM′.
∴∠NDM′=90°.
∴NM′2=ND2+DM′2.
∵∠EAM′=90°,∠EAF=45°,
∴∠EAF=∠FAM′=45°.
在△AMN和△ANM′中, ,
∴△AMN≌△ANM′.
∴MN=NM′.
又∵BM=DM′,
∴MN2=ND2+BM2.
【解析】本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用,解答本題主要應(yīng)用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用,正方形的性質(zhì),依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵.(1)①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:AF=AG,∠DAF=∠BAG,接下來在證明∠GAE=∠FAE,然后依據(jù)SAS證明△GAE≌△FAE即可;②由全等三角形的性質(zhì)可知:AB=AH,GE=EF=5.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,接下來,在Rt△EFC中,依據(jù)勾股定理列方程求解即可;(2)將△ABM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ADM′.在△NM′D中依據(jù)勾股定理可證明NM′2=ND2+DM′2 , 接下來證明△AMN≌△ANM′,于的得到MN=NM′,最后再由BM=DM′證明即可.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,BC是⊙O的直徑,∠ABC=30°,過點(diǎn)B作⊙O的切線BD,與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,與半徑AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作⊙O的切線AF,與直徑BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.
(1)求證:△ACF∽△DAE;
(2)若S△AOC= ,求DE的長(zhǎng);
(3)連接EF,求證:EF是⊙O的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題引入:
(1)如圖①,在△ABC中,點(diǎn)O是∠ABC和∠ACB平分線的交點(diǎn),若∠A=α,則∠BOC=(用α表示);如圖②,∠CBO= ∠ABC,∠BCO= ∠ACB,∠A=α,則∠BOC=(用α表示)拓展研究:
(2)如圖③,∠CBO= ∠DBC,∠BCO= ∠ECB,∠A=α,請(qǐng)猜想∠BOC=(用α表示),并說明理由.
類比研究:
(3)BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分線,它們交于點(diǎn)O,∠CBO= ∠DBC,∠BCO= ∠ECB,∠A=α,請(qǐng)猜想∠BOC= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊BC,AB上的點(diǎn),且CE=BF.連接DE,過點(diǎn)E作EG⊥DE,使EG=DE,連接FG,F(xiàn)C.
(1)請(qǐng)判斷:FG與CE的數(shù)量關(guān)系是 , 位置關(guān)系是;
(2)如圖2,若點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊CB,BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn),其它條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)作出判斷并給予證明;
(3)如圖3,若點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊BC,AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn),其它條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)直接寫出你的判斷.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC的周長(zhǎng)是16,OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D且OD=2,△ABC的面積是________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=10,AD=6,點(diǎn)M為AB上的一動(dòng)點(diǎn),將矩形ABCD沿某一直線對(duì)折,使點(diǎn)C與點(diǎn)M重合,該直線與AB(或BC)、CD(或DA)分別交于點(diǎn)P、Q
(1)用直尺和圓規(guī)在圖甲中畫出折痕所在直線(不要求寫畫法,但要求保留作圖痕跡)
(2)如果PQ與AB、CD都相交,試判斷△MPQ的形狀并證明你的結(jié)論;
(3)設(shè)AM=x,d為點(diǎn)M到直線PQ的距離,y=d2 ,
①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并指出x的取值范圍;
②當(dāng)直線PQ恰好通過點(diǎn)D時(shí),求點(diǎn)M到直線PQ的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB⊥BC,BE⊥AC,∠1=∠2,AD=AB,則下列結(jié)論不正確的是
A. BF=DF B. ∠1=∠EFD C. BF>EF D. FD∥BC
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),滿足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,則陰影部分的面積是( )
A.48
B.60
C.76
D.80
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我校初三學(xué)子在不久前結(jié)束的體育中考中取得滿意成績(jī),贏得2016年中考開門紅.現(xiàn)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績(jī)作為一個(gè)樣本,按A(滿分)、B(優(yōu)秀)、C(良好)、D(及格)四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果制成如下2幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,如圖,請(qǐng)你結(jié)合圖表所給信息解答下列問題:
(1)將折線統(tǒng)計(jì)圖在圖中補(bǔ)充完整;此次調(diào)查共隨機(jī)抽取了名學(xué)生,其中學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)落在等級(jí);
(2)為了今后中考體育取得更好的成績(jī),學(xué)校決定分別從成績(jī)?yōu)闈M分的男生和女生中各選一名參加“經(jīng)驗(yàn)座談會(huì)”,若成績(jī)?yōu)闈M分的學(xué)生中有4名女生,且滿分的男、女生中各有2名體育特長(zhǎng)生,請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求出所選的兩名學(xué)生剛好都不是體育特長(zhǎng)生的概率.
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