Question

如圖，D為△ABC內(nèi)一點，過D作DE∥AB，DF∥AC，分別交BC于點E，F(xiàn)，過E作EG∥AC，交AB于點G，過F作FH∥AB，交AC于H．求證：BG+GE+ED+DF+FH+HC=AB+AC．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長ED交AC于點I，延長FD交AB于點J，由條件可證明四邊形AJFH和四邊形DEGJ為平行四邊形，可得到DE=GJ，HF=DI=AJ，可得到AB=BG+DE+HF，同理可得到AC=HC+DF+GE，可證得結(jié)論．

解答：證明：如圖，延長DE交AC于點I，延長FD交AB于點J，
∵FH∥AB，DF∥AC，
∴四邊形AJFH為平行四邊形，
∴AJ=FH，
∵DF∥AC，GE∥AC，
∴GE∥DF，且DE∥AB，
∴四邊形DEGJ為平行四邊形，
∴GJ=DE，
∴AB=BG+GJ+AJ=BG+DE+HF，
同理可得AC=CH+DF+GE，
∴BG+GE+ED+DF+FH+HC=AB+AC．

點評：本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．即①有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，②有兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，③有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，④有兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．