Question

如圖，學(xué)校位于高速路AB的一側(cè)（AB成一直線），點A、點B為高速路上距學(xué)校直線距離最近的2個隧道出入口，點C、點D為學(xué)校的兩幢教學(xué)樓．經(jīng)測量，∠ACB=90°，∠ADB＞90°，AC=600m，AB=1000m，D到高速路的最短直線距離DE=400m．
（1）求教學(xué)樓C到隧道洞口點B的直線距離．
（2）一輛重載汽車經(jīng)過該高速路段時的速度為70km/h，該汽車經(jīng)過時噪音影響的最遠范圍為距離汽車500m，分別計算說明教學(xué)樓C和教學(xué)樓D是否會受到該汽車噪音的影響．如果受到影響，受到影響的時間分別是多少？（結(jié)果精確到1秒．）
（3）教學(xué)樓C和教學(xué)樓D分別到隧道口點A、點B直線距離的平方和誰大誰小，試計算比較說明．（即比較圖中AC²+BC²與AD²+BD²的大小．）

Answer 1

考點：勾股定理的應(yīng)用

專題：

分析：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，根據(jù)勾股定理，得到BC的長；
（2）①如圖2，作CF⊥AB于F，由面積法求得CF=480m②如圖3，根據(jù)勾股定理，求出GH，除以速度即可解答．
（3）①根據(jù)勾股定理，得AC²+BC²=AB²．
②過點B作BK⊥AD，交AD的延長線于點K．得BK²=BD²-DK²，BK²+AK²=AB²．（AD+DK）²+BK²=AB²．從而得到AD²+BD²＜AB²．

解答：解：（1）如圖1，

在Rt△ABC中，∠C=90°，
據(jù)勾股定理，得BC²=AB²-AC²=1000²-600²=800²．
∴BC=800（m）．
即：教學(xué)樓C到隧道洞口點B的直線距離為800m（2）①如圖2，作CF⊥AB于F，

由面積法求得CF=480m．
因為CF=480m＜500m，DE=400m＜500m，
∴教學(xué)樓C和教學(xué)樓D均會受到該汽車噪音的影響．
②如圖3，

設(shè)該汽車行至點H時教學(xué)樓C開始受到噪音影響，行至點G時受影響結(jié)束，則CH=500m，
又∵CF=480m，
根據(jù)勾股定理，得FH=140m，GH=2F，
280m=0.28km．
0.28÷70×3600≈14 （s）．
即：教學(xué)樓C 受到該汽車噪音影響的時間約為14s．
設(shè)該汽車行至點Q時教學(xué)樓D開始受到噪音影響，行至點P時受影響結(jié)束，則DQ=500m，
又DE=400m，據(jù)勾股定理，得EQ=300m，PQ=2EQ
600m=0.6km．
0.6÷70×3600≈31（s）
即教學(xué)樓D受到該汽車噪音影響的時間約為31s．
（3）AD²+BD²＜AC²+BC²，說理如下：如圖4，

①根據(jù)勾股定理，得AC²+BC²=AB²．
②過點B作BK⊥AD，交AD的延長線于點K．
據(jù)勾股定理，得BK²=BD²-DK²，BK²+AK²=AB²．
∴（AD+DK）²+BK²=AB²．
即：AD²+DK²+2AD•DK+BD²-DK²=AB²．
∴AD²+2AD•DK+BD²=AB²．
∵AD＞0，DK＞0，
∴2AD•DK＞0
∴AD²+BD²＜AB²．
綜合①②，得AD²+BD²＜AC²+BC²．

點評：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉分類討論，熟悉勾股定理，從實際問題中找到直角三角形是解題的關(guān)鍵．