Question

已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，線段OA、OB的長（OA＜OB）是方程x²-18x+72=0的兩個(gè)根，且AC：BC=3：2，過點(diǎn)C作AB的垂線交y軸于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)C坐標(biāo)；
（2）求直線AD解析式；
（3）在直線AD上是否存在點(diǎn)P，使以O(shè)、P、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先求出方程x²-18x+72=0的兩個(gè)根，也就是OA=6，OB=12，再利用勾股定理求出AB的值，由AC：BC=3：2，可求得AC，利用sin∠BAO，即可求出CM，OM，進(jìn)而求出OM，即可得出點(diǎn)C坐標(biāo)，
（2）由cos∠ABO=

2 5

5

，可求出BC的值，由BD=BC÷cos∠ABO，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，設(shè)直線AD解析式為y=kx+b，把D（0，6），A（6，0）代入可得直線AD解析式為y=-x+6，
（3）分四種情況討論）①當(dāng)P與D點(diǎn)重合時(shí)，O、P、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形②當(dāng)P落在AD中點(diǎn)時(shí)，O、P、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，③當(dāng)AP=6時(shí)，且P在AD上，O、P、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，④當(dāng)AP=6時(shí)，且P在DA的延長線上，O、P、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形分別求解即可．

解答：解：（1）∵方程x²-18x+72=0的兩個(gè)根為6和12，
∴OA=6，OB=12，
∴AB=

62+122

=6

5

，
∵AC：BC=3：2，
∴AC=

3

5

AB=

18 5

5

，
∵sin∠BAO=

OB

AB

=

12

6 5

=

2 5

5

，
如圖1，作CM⊥x軸于點(diǎn)M

∴CM=AC•sin∠BAO=

18 5

5

×

2 5

5

=

36

5

，
AM=AC•cos∠BAO=

18 5

5

×

5

5

=

18

5

，
∴OM=6-AM=

12

5

，
∴C（

12

5

，

36

5

），
（2）∵cos∠ABO=

OB

AB

=

12

6 5

=

2 5

5

，BC=AB•

2

5

=6

5

×

2

5

=

12 5

5

，
∴BD=BC÷cos∠ABO=

12 5

5

÷

2 5

5

=6，
∴D（0，6），
設(shè)直線AD解析式為y=kx+b，把D（0，6），A（6，0）代入可得

6=b 0=6k+b

，解得

k=-1 b=6

，
∴直線AD解析式為y=-x+6，
（3）①當(dāng)P與D點(diǎn)重合時(shí)，O、P、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，即P（0，6）．
②當(dāng)P落在AD中點(diǎn)時(shí)，O、P、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，即P（3，3）．
③當(dāng)AP=6時(shí)，且P在AD上，O、P、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，即P（6-3

2

，3

2

）
④當(dāng)AP=6時(shí)，且P在DA的延長線上，O、P、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，即P（6+3

2

，-3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)與幾何圖形的問題，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角函數(shù)及分類討論的思想．