Question

已知：如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10．
（1）求BC的長；
（2）有一動點P從點C開始沿C→B→A方向以1cm/s的速度運動到點A后停止運動，設(shè)運動時間為t秒；求：
①當t為幾秒時，AP平分∠CAB；
②當t為幾秒時，△ACP是等腰三角形（直接寫答案）．

Answer 1

考點：勾股定理,角平分線的性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：動點型

分析：（1）直接根據(jù)勾股定理求出BC的長即可；
（2）①過點P作PD⊥AB于點D，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出PD=PC，由HL定理可得出Rt△APD≌Rt△APC，故AD=AC，設(shè)PC=x，則PB=8-x，在Rt△BPD中根據(jù)勾股定理求出x的值即可得出結(jié)論；
②當點P在BC上時，只有AC=PC兩種情況；當點P在AB上時，分AP=AC，PC=AC，AC=AP三種情況進行討論．

解答：解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，
∴BC=

AB2-AC2

=

102-62

=8；

（2）①如圖1所示，
過點P作PD⊥AB于點D，
∵AP平分∠CAB，
∴PD=PC．
在Rt△APD與Rt△APC中，

PD=PC AP=AP

，
∴Rt△APD≌Rt△APC（HL），
∴AD=AC=6，
∴BD=10-6=4．
設(shè)PC=x，則PB=8-x，
在Rt△BPD中，PD²+BD²=PB²，即x²+4²=（8-x）²，解得x=3，
∴當t=3秒時，AP平分∠CAB；
②如圖2所示，
當點P在BC上時，
∵AC=P₁C=6，
∴t=6秒；
當點P在AB上，AC=AP₂時，
∵AC=AP₂=6，
∴BC+BP₂=8+4=12，
∴t=12秒；
當AC=P₃C時，如圖3所示，
過點D作CD⊥AB于點D，則AD=DP₃，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，即

AD

6

=

6

10

，解得AD=3.6，
∴AP₃=7.2，
∴BC+BP₃=8+（10-7.2）=10.8，
∴t=10.8秒；
當CP₄=AP₄時，如圖4所示，過點P₄作P₄E⊥AC于點E，
∵CP₄=AP₄，AC=6，
∴AE=

1

2

AC=3，
∴

AE

AP4

=

AC

AB

，即

3

AP4

=

6

10

，解得AP₄=5，
∴BC+BP₄=8+（10-5）=13，
∴t=13秒．
綜上所述，t=6或t=10.8或t=12或t=13秒時，△ACP是等腰三角形．

點評：本題考查的是勾股定理，在解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解．