Question

如圖，已知△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過D作DE⊥BC，垂足為E，連結OE，CD=

3

，∠ACB=30°．
（1）求證：點D是AC的中點．
（2）求證：DE是⊙O的切線．
（3）分別求AB，OE的長．

Answer 1

考點：切線的判定,等腰三角形的性質,圓周角定理

專題：

分析：（1）連接BD，根據(jù)圓周角定理求出BD⊥AC，根據(jù)等腰三角形性質求出即可．
（2）連接OD，根據(jù)三角形中位線求出OD∥BC，求出DE⊥OD，根據(jù)切線的判定推出即可．
（3）求出DE、CE，在△DEB中求出BE，即可求出AB，求出OD，在△ODE中，根據(jù)勾股定理求出OE即可．

解答：（1）證明：連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
即BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴D是AC的中點．

（2）證明：連接OD，
∵D為AC中點，AO=BO，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD為半徑，
∴DE是⊙O的切線．

（3）解：∵在Rt△CDB中，∠ADB=∠CDB=90°∠C=30°，CD=

3

，
∴DE=

3

2

，CE=

3

2

×

3

=

3

2

，∠CBD=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=DE×tan30°=

1

2

，
∴AB=BC=BE+CE=

1

2

+

3

2

=2，
在Rt△哦、ODE中，OD=

1

2

AB=1，DE=

3

2

，由勾股定理得：OE=

12+( 3 2 )2

=

7

2

．

點評：本題考查了圓周角定理，勾股定理，解直角三角形，切線的判定和性質的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理和計算的能力．