Question

【題目】如圖，拋物線交軸于，兩點，交軸于點.直線經(jīng)過點，.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點是直線上方拋物線上一動點，設點的橫坐標為.

①求面積最大值和此時的值；

②是直線上一動點，是否存在點，使以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，直接寫出點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當時，② ，

【解析】

（1）求出點B、C的坐標，將點B、C的坐標代入拋物線表達式，即可求解；
（2）①過點P作y軸的平行線交直線BC于點H，根據(jù)△PBC面積＝×PH×OB，利用二次函數(shù)的性質即可求解；②分AB是平行四邊形的邊，AB是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）∵直線經(jīng)過點B，C，

∴點B、C的坐標分別為：（4，0）、（0，2），

將點B、C的坐標代入拋物線表達式，得，

解得：，

∴拋物線的表達式為：；

（2）①過點P作y軸的平行線交直線BC于點H，

則點P（m，），點H（m，），

∴△PBC面積＝×PH×OB＝×4×（）＝2m2＋8m＝2(m-2)2+8，

∴當m＝2時，面積存在最大值8；

②設點P（m，），點Q（n，），

令，解得：，

∴點A的坐標為：（，0），

當AB是平行四邊形的邊時，點A向右平移個單位得到B，

同樣點P（Q）向右平移個單位得到Q（P），

則m±＝n，＝，

解得：m＝（舍去）或（舍去）或，

∴此時P點坐標為或；

當AB是平行四邊形的對角線時，

由中點公式得：m＋n＝，，

解得：m＝或（重復，舍去）；

綜上點P的坐標為：或．