Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分線，E為AB邊上一點(diǎn)，且CE⊥BD，垂足為O，求證：
（1）BD是線段CE的垂直平分線．
（2）∠ADE=∠ABC．

Answer 1

考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由條件可證明△BOE≌△BOC，可證得BE=BC，再證明△BDE≌△BDC，可證得DE=DC，可證得結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）可證明∠AED=∠ACB=90°，可證明∠ADE=∠ABC．

解答：證明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠EBO=∠CBO，
∵CE⊥BD，
∴∠BOE=∠BOC，
在△BOE和△BOC中，

∠EBO=∠CBO BO=BO ∠EOB=∠COB

，
∴△BOE≌△BOC（ASA），
∴BE=BC，
在△BDE和△BDC中，

BE=BC ∠EBD=∠CBD BD=BD

，
∴△BDE≌△BDC（SAS），
∴DE=DC，
∴點(diǎn)B、D都在線段AC的垂直平分線上，
∴BD是線段CE的垂直平分線；
（2）由（1）可知△BDE≌△BDC，
∴∠BED=∠ACB=90°，
∴∠A+∠ADE=∠A+∠ABC，
∴∠ADE=∠ABC．

點(diǎn)評：本題主要考查線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，掌握到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上是解題的關(guān)鍵．